《Sobolev空間與變分原理》作者（張維弢）結合自己多年的學習、科研以及教學經驗，比較詳細地介紹了Sobolev空間基本理論及其在諸多變分問題中的應用，這些應用涉及微分幾何、偏微分方程以及相對論等數學和物理分支。②這些問題多是僅幾十年來數學和物理研究的核心問題，也是具有突破性進展的領域。③作者不僅介紹了前任的研究成果，同時，將作者本人的*新研究成果和學習心得介紹給讀者，使得讀者在掌握Sobolev空間基本理論後，能夠迅速接觸到科研前沿。

第1章講述Sobolev空間，這是變分方法和分析的理論基礎，介紹跡定理 、緊性定理、嵌入定理及其新進展.第2章講述Peter Li和丘成桐(1983)的本 征值估計及其應用和改進.第3章講述橢圓算子在Sobolev空間的可解性、變 分不等方程、單調算子理論和山路定理.第4章講述Lions(1973)創立的漸近 分析理論、stiff問題的漸近展開和橢圓邊界層問題的一般收斂定理，解決 了Lions(1973)中的一個公開的問題，分析了邊界層形態的變化，給出改進 後的Brézis不等式在漸近分析和漸變引起突變中的應用.第5章講述Lions (1988)的HUM和利用乘子方法建立的積分恆等式、Haraux引理（1978，1989 ，1994）及其改進，統一和擴展了法國學者的波方程邊界反饋的鎮定性.第6 章講述變分方法在幾何和相對論中的應用，給出Gauss曲率和平均曲率的變 分計算，介紹Riemann幾何初步，討論數量曲率的變分，分析Einstein用物 理直覺建立廣義相對論場方程和Hilbert用變分論證建立場方程的條件.場方 程在弱場和無奇點的條件下是成立的，依此，對宇宙起源於奇點給予質疑. 《Sobolev空間與變分原理》可作為高等院校數學繫相關專業高年級學 生和研究生的教材或學習參考書，也可供從事偏微、幾何和相對論等學科的 研究人員參考。 《Sobolev空間與變分原理》由張維弢編著。

總序（ⅰ）
序（ⅲ）
第1章 Sobolev空間
1.1 Sobolev空間的引入
1.2 稠密定理
1.3 延拓定理
1.4 跡的啟示與Hadamard例
1.5 常用等式與不等式
1.6 跡定理
1.7 嵌入定理及其新進展
1.8 緊性定理
第2章 本征值問題與Cheng-Li-Yau估計技巧
2.1 本征值問題的一般性質
2.2 Pólya猜想與本征值問題簡史
2.3 Hormander引理及其改進
2.4 Li-Yau對於λ1估計的小改進
2.5 CLY技巧在間斷繫數的本征值問題中的應用
2.6 柔性結構控制產生的新型本征值問題
2.7 有關Fourier分析的注記
2.8 有關CLY估計技巧的注記與取材
第3章 變分形式與可解性
3.1 L-M引理與2m階橢圓算子在Hm(Ω)中的可解性
3.2 二階橢圓算子在H2(Ω)中的可解性
3.3 變分不等方程與可解性
3.4 單調算子理論
3.5 臨界點、形變引理、山路定理和臨界值的分類
第4章 變分形式中的漸近分析
4.1 “硬”問題在變分形式中的漸近展開
4.2 橢圓邊界層問題的一般收斂定理
4.3 Tartar的邊界層形態分析與Lions的公開問題
4.4 φ的改進與四階方程的邊界層形態分析
4.5 漸近分析的Poincaré定義與Lions定義
4.6 邊界層形態的另一描述
4.7 突變點、漸變與突變
第5章 HUM、Haraux引理與鎮定性
5.1 能量攝動方法簡介
5.2 乘子引理與可控性
5.3 Haraux引理
5.4 波方程的鎮定性
5.5 波方程第三邊值問題的**可控性及其近似
5.6 乘子方法在橢圓方程中的應用
第6章 幾何與相對論中的變分問題
6.1 曲率變分實例
6.2 Riemann幾何初步與Rik-12gikR=0(n=2)
6.3 測地線與質點運動的變分表述
6.4 數量曲率的變分δ∫ωRG12dU
6.5 場方程的建立、Einstein的物理直覺和Hilbert的變分論證
6.6 經典檢驗、奇點困惑和他山之石
6.7 本章小結
參考文獻