新東方考研名師團隊匠心打造，考研數學魔研君一路陪伴

\"本書以教育部最新頒布的線性代數教學大綱和教育部考試中心組織編寫的考研大綱為依據,內容包 括了考研數學中概率論與數理統計的全部考點和相關內容。全書各章節均按照講、練、考(自測)的結構編 寫,書中例題甄選自歷年考研真題和經典題型,使學生在學習上形成一套閉環，而且 “魔研君點睛”是本書的一大特色。 本書通俗易懂、深入淺出,可作為考研高等數學的備考用書,也可作為大學數學學習的輔導用書,以及 數學愛好者的自學教材。\"

小侯七 新東方上海學校考研數學組組長，新東方武漢學校考研數學特聘顧問，魔研考研數學教研室負責人，新東方考研夢想宣講團首席講師，新東方最有價值教師獎（MVT）中唯一的考研數學講師.

第1章函數、極限和連續

考研大綱要求與重點導學

必會基本內容

一、 函數

二、 極限

三、 極限的計算

四、 函數的連續性

考試題型與解析

題型一： 函數概念及其性質

題型二： 極限定義與性質

題型三： 函數極限的計算

題型四： 無窮小及無窮小等價

題型五： 數列極限的計算

題型六： 函數的連續性相關問題

自測題精選

第2章導數與微分的概念和計算

考研大綱要求與重點導學

必會基本內容

一、 概念

二、 計算

考試題型與解析

題型一： 導數與微分的定義

題型二： 導數的幾何意義

題型三： 隱函數的導數計算

題型四： 反函數、參數方程所確定的函數求導

題型五： 復合函數的導數計算

題型六： 分段函數的導數計算及連續性問題

題型七： 高階求導

自測題精選

第3章導數的應用與微分中值定理

考研大綱要求與重點導學

必會基本內容

一、 導數的應用

二、 微分中值定理

考試題型與解析

題型一： 單調性和極值

題型二： 凹凸性和拐點

題型三： 漸近線問題

題型四： 不等式證明與方程根的問題

題型五： 中值定理證明題

題型六： 曲率相關考點（數學一、數學二）

自測題精選

第4章一元函數積分學的概念與計算

考研大綱要求與重點導學

必會基本內容

一、 (不)定積分學的概念

二、 反常積分

三、 一元函數積分學的計算

考試題型與解析

題型一： 不定積分的概念和性質

題型二： 定積分的概念和性質

題型三： 不定積分的計算

題型四： 定積分的計算

題型五： 變限積分相關題型

題型六： 反常積分的計算及斂散性的判定

題型七： 積分的證明題型

自測題精選

第5章一元函數積分學的應用

考研大綱要求與重點導學

必會基本內容

一、 數學一、數學二、數學三公共部分

二、 一元函數積分學的幾何應用(數學一、數學二)

三、 一元函數積分學的物理應用(數學一、數學二)

四、 一元函數積分學在經濟學中的應用(數學三)

考試題型與解析

題型一： 用定積分計算平面圖形的面積

題型二： 用定積分計算旋轉體的體積

題型三： 弧長計算（數學一、數學二）

題型四： 旋轉曲面表面積(數學一、數學二)

題型五： 平行截面面積為已知的立體體積(數學一、數學二)

題型六： 一元函數積分學的物理應用(數學一、數學二)

自測題精選

第6章多元函數微分學

考研大綱要求與重點導學

必會基本內容

一、 多元函數微分學的概念

二、 多元函數微分學的計算

三、 多元函數微分學的應用問題

四、 多元函數微分學的幾何應用（數學一）

考試題型與解析

題型一： 多元函數微分學基本概念題型

題型二： 抽像復合函數的偏導數和全微分問題

題型三： 隱函數的偏導數和全微分問題

題型四： 其他偏導數和全微分問題

題型五： 普通極值問題

題型六： 條件極值（*值）問題

題型七： 閉區域（邊界）上的*值問題

題型八： 多元函數微分學的幾何應用（數學一）

自測題精選

第7章二重積分的概念和計算

考研大綱要求與重點導學

必會基本內容

一、 二重積分的概念與性質

二、 二重積分的計算

考試題型與解析

題型一： 二重積分的概念與性質相關題型

題型二： 直角坐標繫下的二重積分的計算

題型三： 直角坐標繫下交換積分次序

題型四： 極坐標繫下的二重積分的計算

題型五： 直角坐標繫與極坐標繫互化

題型六： 二重積分的綜合考查

自測題精選

第8章常微分方程

考研大綱要求與重點導學

必會基本內容

一、 微分方程的基本知識

二、 微分方程的解法

三、 高階微分方程解的結構

考試題型與解析

題型一： 一階微分方程的求解

題型二： 二階可降階微分方程(數學一、數學二)

題型三： 二階常繫數微分方程

題型四： 高階線性微分方程解的結構

題型五： 已知通解反寫方程

題型六： 伯努利方程(數學一)

題型七： 歐拉方程(數學一)

題型八： 積分方程問題

題型九： 微分方程的應用

自測題精選

第9章數學三專題

考研大綱要求與重點導學

必會基本內容

一、 增長函數

二、 需要研究的五個基本函數

三、 邊際分析

四、 彈性分析

五、 一階常繫數差分方程

考試題型與解析

題型一： 一元函數微分學在經濟學中的應用

題型二： 一元函數積分學在經濟學中的應用

題型三： 多元函數微分學在經濟學中的應用

題型四： 常微分方程和差分方程在經濟學中的應用

題型五： 差分方程的求解

自測題精選

**0章無窮級數(數學二不要求)

考研大綱要求與重點導學

必會基本內容

一、 常數項級數

二、 冪級數

三、 傅裡葉級數(數學一)

考試題型與解析

題型一： 正項級數斂散性判斷

題型二、 交錯級數斂散性判斷

題型三： 任意項級數斂散性判斷

題型四： 冪級數的收斂域(區間、點)

題型五： 冪級數求和

題型六： 常數項級數求和

題型七： 冪級數展開

題型八： 綜合證明題

題型九： 傅裡葉級數(數學一)

自測題精選

**1章向量代數與空間解析幾何(數學一)

考研大綱要求與重點導學

必會基本內容

一、 向量代數

二、 空間解析幾何

三、 空間曲面及其方程

考試題型與解析

題型一： 向量運算

題型二： 直線及平面的方程

題型三： 位置關繫及距離問題

題型四： 旋轉曲面問題

題型五： 投影問題

自測題精選

**2章三重積分及重積分的應用(數學一)

考研大綱要求與重點導學

必會基本內容

一、 三重積分的概念

二、 三重積分的計算

三、 重積分的應用

考試題型與解析

題型一： 直角坐標繫下的三重積分的計算

題型二： 柱面坐標繫下的三重積分的計算

題型三： 球面坐標計算三重積分

題型四： 重積分的應用

**3章曲線積分與曲面積分(數學一)

考研大綱要求與重點導學

必會基本內容

一、 **類曲線積分(對弧長的曲線積分)

二、 第二類曲線積分(對坐標的曲線積分)

三、 格林公式及其應用

四、 **類曲面積分(對面積的曲面積分)

五、 第二類曲面積分(對坐標的曲面積分)

六、 高斯公式、通量與散度

七、 斯托克斯公式、環流量與旋度

考試題型與解析

題型一： **類曲線積分

題型二： 平面第二類曲線積分

題型三： 空間第二類曲線積分

題型四： **類曲面積分

題型五： 第二類曲面積分

題型六： 散度、旋度

題型七： 曲線曲面積分的應用

附錄1基本初等函數性質及其圖像

附錄2常用三角函數公式彙總

附錄3小侯七談考研數學備考攻略

第1章函數、極限和連續 考研大綱要求與重點導學 1．本章大綱考試要求 序號 考試內容與要求 適 用 科 目 1 理解函數的概念，掌握函數的表示法，會建立應用問題的函數關繫 數學一、數學二、數學三 2 了解函數的有界性、單調性、周期性和奇偶性 數學一、數學二、數學三 3 理解復合函數及分段函數的概念，了解反函數及隱函數的概念 數學一、數學二、數學三 4 掌握基本初等函數的性質及其圖形，了解初等函數的概念 數學一、數學二、數學三 5 理解極限的概念，理解函數左極限與右極限的概念以及函數極限存在與左、右極限之間的關繫 數學一、數學二 了解數列極限和函數極限(包括左、右極限)的概念 數學三 6 掌握極限的性質及四則運算法則 數學一、數學二 了解極限的性質，掌握極限的四則運算法則 數學三 7 掌握極限存在的兩個準則，並會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法 數學一、數學二 了解極限存在的兩個準則，掌握利用兩個重要極限求極限的方法 數學三 8 掌握用洛必達法則求未定式極限的方法 數學一、數學二 會用洛必達法則求極限 數學三 9 理解無窮小量、無窮大量的概念，掌握無窮小量的比較方法，會用等價無窮小量求極限 數學一、數學二 理解無窮小量的概念和基本性質，掌握無窮小量的比較方法，了解無窮大量的概念及其與無窮小量的關繫 數學三 10 理解函數連續性的概念(含左連續與右連續)，會判別函數間斷點的類型 數學一、數學二、數學三 11 了解連續函數的性質和初等函數的連續性，理解閉區間上連續函數的性質(有界性*大值、*小值定理和介值定理)，並會應用這些性質 數學一、數學二、數學三 2． 本章概要與重點導學 高等數學的核心思想是“用極限的工具研究函數的連續性”，本章正是高等數學的核心思想之所在.因此，對本章的掌握程度直接影響能否學好高等數學.函數及其性質是基礎，尤其是函數的四個性質一定要弄透； 有一句話叫“得極限者得天下”，極限的概念、性質和計算是重中之重，大家要尤為重視； 無窮大和無窮小的概念及性質、無窮小的相關問題是考研試卷上的常客； 連續的概念、間斷的判斷、閉區間上連續函數的性質*是要融會貫通．從出題分布規律可知，本章對於數學一來講，基本每年(個別年份除外)都會有一道小題或者一道解答題，甚至兩者兼有； 對於數學二、數學三來講，出題比例*加突出，希望大家引起重視． 必會基本內容 一、 函數 1． 函數的概念 設x與y是兩個變量，D是一個非空的實數集．對每一個x∈D，按照對應法則f，總有**確定的值y與之對應，則稱變量y是變量x的函數，記為 y=f(x)或y=y(x)， 則稱x為自變量， y為因變量，f為對應法則，D稱為函數的定義域，實數集Z={y|y=f(x),x∈D}稱為函數的值域． 魔研君點睛 在做函數概念及相關題時，函數的定義域都是首先要考慮的.而且在求函數的定義域時，不要忘了一些實際工程背景或者現實背景，這些都是影響函數定義域的重要因素. 【例1.1】已知f(x)=ex2，f［φ(x)］=1－x，且φ(x)≥0，求φ(x)並寫出它的定義域． 解析 本題為1988年真題，是求解函數表達式的典型試題．做這類題時不要忽略定義域的求解，同時要掌握復合函數的運算技巧． 由題意得f(x)=ex2，所以f［φ(x)］=e［φ(x)］2，又f［φ(x)］=1－x，所以e［φ(x)］2=1－x．兩邊取對數，則［φ(x)］2=ln(1－x)，進而知道φ(x)=±ln(1－x).因為φ(x)≥0，所以φ(x)=ln(1－x)．又由題意得1－x>0且ln(1－x)≥0，故定義域為x≤0． 2． 復合函數與反函數 (1) 復合函數 設函數y=f(u)的定義域為Df，函數u=g(x)定義域為Dg，值域RgDf,則函數 y=f［g(x)］,x∈Dg 稱為由函數u=g(x)與函數y=f(u)構成的復合函數,其中Dg為定義域，u為中間變量. (2) 反函數 設函數y=f(x)的定義域為D，值域為R．對於每一個y∈R,都存在x∈D使得y=f(x)成立，則由此定義一個函數x=g(y)．這個函數就稱為函數y=f(x)的反函數，記為 x=f-1(y)， 其定義域為R，值域為D． 3． 分段函數、隱函數及其他函數 (1) 分段函數 在自變量的不同變化範圍中，不能用同一個表達式表示的函數稱為分段函數.下面給出幾種特殊的分段函數. **值函數： y=|x|=x,x≥0, -x,x<0. 符號函數： y=sgnx= 1,x>0, 0,x=0, -1,x<0. 取整函數： y=［x］． 這類函數中x的取值是“不超過x的*大整數部分”，如67=0，［1．3］=1，［-3．7］=-4． (2) 隱函數 如果方程F(x,y)=0能確定y是x的函數，那麼稱這種方式表示的函數是隱函數．有些隱函數可以顯化，比如x2+4y2=1，可以顯化為y=±1－x22； 而有些隱函數無法顯化． (3) 變限積分函數: F(x)=∫xbf(t)dt(其中b為常數，此例為變上限積分函數)． (4) 參數方程定義的函數： 函數y=y(x)若以x=x(t)， y=y(t)，α≤t≤β的形式出現，則稱之為參數方程確定的函數． (5) 冪指函數： 結構形式為u(x)v(x)的函數．見到此類函數形式，通常作如下變換： u(x)v(x)=ev(x)lnu(x).