差分方程描述隨離散時間變化的繫統的規律性，
在自然科學、工程技術和
社會現像中有著廣泛的應用。周義倉、曹慧、肖燕妮
編寫的《差分方程及其應用》在大學數學課程的基礎
上較繫統地介紹
了差分方程的基本概念、求解方法，線性差分方程組
的基本理論，差分方程的
定性、穩定性分析方法和分支理論的知識，特別是
Liapunov函數、差分不等
式和比較定理、鞍結點分支、Flip分支和不變解曲線
的分支等知識，以便為讀
者進行差分方程的應用和理論研究提供基礎。書中給
出了大量的應用例子來
展示差分方程或差分方程組在物理學、經濟學、生態
學和傳染病動力學等方面
的廣泛應用，包括我們近年來在研究人口增長、艾滋
病和結核病傳播、甲型流
感防控等問題中建立的差分方程模型的分析和應用。
這是一本差分方程基礎
知識介紹和應用研究相結合的教材，我們希望本書能
引導讀者在差分方程的
應用方面盡快地從基本理論和方法的學習走到研究的
前沿，能建立和應用差
分方程研究和解決一些應用問題，並探索一些差分方
程復雜的動力學性態。
本書可以作為大學高年級本科生和研究生差分方
程及相近課程的教材，
也可以作為研究人員的參考書。

第1章 緒論
1.1 一些應用差分方程的例子
1.1.1 兔子對數的遞推關繫
1.1.2 從兩個簡單問題導出的差分方程
1.1.3 近似計算與差分方程
1.1.4 經濟學中兩個問題
1.1.5 隨機現像中概率的遞推
1.1.6 一個種群數量變化的描述
1.2 差分方程的概念和求解
1.2.1 差分算子及其性質
1.2.2 初等函數的差分
1.2.3 不定和
1.2.4 差分方程
1.3 簡單差分方程的復雜性態
1.3.1 差分方程的平衡解及其穩定性
1.3.2 蟲口方程的倍周期分叉
1.3.3 一個非線性模型的混沌性態
1.3.4 帳篷映射
習題1
第2章 線性差分方程
2.1 線性差分方程解的一般理論
2.1.1 n階線性差分方程及其解的存在**性
2.1.2 函數組的線性相關
2.1.3 齊次線性差分方程解的一般理論
2.1.4 非齊次線性差分方程解的疊加原理
2.2 n階常繫數線性差分方程
2.2.1 常繫數線性齊次差分方程的解
2.2.2 常繫數線性非齊次差分方程
2.2.3 算子法
2.2.4 可以轉換為線性方程的情形
2.2.5 線性差分方程的應用舉例
2.3 線性差分方程組
2.3.1 線性常繫數齊次差分方程組
2.3.2 線性差分方程組的一般理論
2.3.3 常繫數線性齊次差分方程組的解
2.3.4 線性非齊次差分方程組的解
2.3.5 線性周期差分方程組
2.4 線性差分方程組的應用舉例
2.4.1 Markov鏈
2.4.2 兩個**的國民收入和貿易
2.4.3 熱傳導方程
習題2
第3章 差分方程的穩定性
3.1 解對初始值和參數的連續性
3.1.1 向量的模
3.1.2 差分不等式
3.1.3 解對初始值的依賴性
3.1.4 解對參數的依賴性
3.2 穩定性的一些概念
3.2.1 平衡解穩定性的定義
3.2.2 穩定性的幾個例子
3.2.3 差分方程的比較原理
3.2.4 動力繫統
3.3 線性差分方程平衡解的穩定性
3.3.1 穩定性討論的幾個具體例子
3.3.2 線性差分方程組零解的穩定性
3.3.3 常繫數線性差分方程組零解的穩定性
3.4 穩定性研究中的線性化近似方法
3.4.1 線性非自治方程組零解穩定性的比較方法
3.4.2 非線性差分方程組與線性差分方程組的比較
3.4.3 判斷非線性差分方程組平衡解穩定性的線性化方法
3.4.4 平衡解穩定性研究中的比較原理
3.5 Liapunov直接方法
3.5.1 Liapunov函數的定義
3.5.2 Liapunov穩定性定理
3.5.3 LaSalle不變性原理
3.5.4 Liapunov不穩定性定理
3.5.5 Liapunov函數的存在性
3.6 差分方程模型的穩定性分析舉例
3.6.1 兩階段的種群模型
3.6.2 一個具有時滯的種群模型平衡解的穩定性
3.6.3 兩種群相互競爭的模型
習題3
第4章 差分方程的分支
4.1 平衡解的分支
4.1.1 分支點的定義
4.1.2 逐次消元法
4.1.3 零因子消去法
4.2 一維差分方程平衡解的分支
4.2.1 鞍結點分支
4.2.2 跨臨界分支
4.2.3 音叉分支(pitchfork bifurcation)
4.2.4 反轉分支(flip bifurcation)
4.3 二維差分方程組平衡解和穩定性的分支
4.3.1 常繫數線性齊次方程組平衡解的穩定性和相圖
4.3.2 一個非線性差分方程組平衡解的穩定性和分支
4.4 不變閉曲線的分支
4.4.1 Hopf分支
4.4.2 不變閉曲線族的分支
4.5 生態模型中的分支
4.5.1 Beverton-Holt模型的分支
4.5.2 兩階段種群模型平衡解的分支
4.5.3 p=□時模型(4.5.2)的Flip分支
4.5.4 p=□時模型(4.5.2)的Hopf分支?
4.6 一個傳染病模型的分支
4.6.1 模型及其平衡解
4.6.2 平衡解的穩定性
4.6.3 模型(4.6.5)的Flip分支
4.6.4 模型(4.6.5)的鞍結點分支
4.6.5 模型(4.6.5)的Hopf分支
習題4
第5章 差分方程在生態和傳染病問題中的應用
5.1 人口和種群增長的Leslie矩陣模型
5.1.1 模型建立
5.1.2 模型的分析
5.1.3 一個非線性Leslie模型
5.1.4 具有一般結構的Liesle模型
5.2 離散傳染病模型
5.2.1 傳染病問題的重要性
5.2.2 幾個基本的離散傳染病模型
5.2.3 具有感染階段的艾滋病模型
5.2.4 具有感染階段的艾滋病模型的應用
5.3 結核病傳播的差分方程模型
5.3.1 結核的傳播過程
5.3.2 結核的流行現狀
5.3.3 結核的建模與研究情況
5.3.4 具有季節性的結核病模型
5.3.5 具有年齡結構的結核模型
5.4 Beverton-Holt模型
5.4.1 自治Beverton-Holt模型的穩定性
5.4.2 非自治Beverton-Holt模型的周期解
5.4.3 具有脈衝收獲策略的非自治Beverton-Holt離散模型
習題5
附錄A 映射的中心流形定理
A.1 問題的提出
A.2 差分方程組中心流形定理的幾個結論
A.3 中心流形定理在判定平衡解穩定性時的應用舉例
A.4 中心流形定理在研究分支問題時的應用舉例
附錄B 2006年中國人口的一些統計數據
附錄C 2003年北京市sARs流行期間的數據
參考文獻
索引