劉成仕編著的《從面積問題到Liouville理論》
從切線和面積問題談起，在極短的篇幅內清晰地講解
了微積分最本質的內容，包括了外微分運算的幾何意
義和Stokes公式，以及函數的層餅表示和若干重要的
不等式。本書通過幾何概率講解了積分幾何並應用到
Benneson型等周不等式，詳細地證明了測度集中現像
，用具體的例子闡述了無窮維微積分，從振動方程本
身人手研究三角函數。特別是詳細地講解了為什麼某
些初等函數的原函數不能表示成初等函數的
Liouville理論。本書特別強調對數學的理解，從基
本問題講起，直達前沿領域，講解透徹，內容與方式
都別具一格。
本書適用於廣泛的讀者，包括數學、物理、力學
專業的大學生、研究生、教師以及科研人員，亦可作
為大學生和研究生的教材或參考書。

前言
**講 如何求切線、面積和體積
1 面積的定義
2 三角形的面積
3 圓的面積——一個難題
4 一個思考的問題：拋物線y=x2下的面積
5 求切線——Fermat模式
6 再回到求拋物線y=x2下的面積——Newton模式
7 球體的體積
8 一個挑戰：求球體的表面積
9 用兩次Newton模式：*復雜體的體積——二重積分
第二講 *復雜函數求切線和積分
1 **個重要極限和三角函數的導數
2 第二個重要極限和對數函數的導數
3 指數函數的導數——反函數的求導法則
4 *復雜函數的斜率的求法
5 *復雜函數對應的面積——求積分的基本方法
6 曲線的弧長
7 求球體的表面積的另一個方法
第三講 無窮階多項式——冪級數
1 Newton二項式定理
2 Newton計算π的近似值
3 無窮階的多項式——冪級數
4 冪級數的另一個應用——Euler的神奇求和公式
5 在一般點處的Taylor展開的微妙之處
第四講 多元函數極值問題、偏導數、曲線積分和外微分
1 極值問題和偏導數
2 導數和偏導數的*多問題
3 Newton模式：沿著曲線做功——曲線積分
4 關於二重積分的定義——面積是有方向的——外積的引入
5 外微分形式和外微分，外微分的幾何意義，Stokes公式
6 通過復數求積分——復數的引入和復變函數
第五講 計算面積的若干新方法
1 二重積分的一個有趣方法
2 有理數的長度
3 區間分割、數的進位表示與一些有趣的集合
4 積分的又一種計算方法——Lebesgue積分的計算與測度論的起源及其與概率論的聯繫
5 另一種分割y軸計算面積法——函數的層餅表示
第六講 積分幾何和等周不等式
1 一個幾何概率問題
2 平面上剛體的不變測度
3 凸集的支撐函數和幾何概率問題的解
4 另一個幾何概率問題和Poincare運動公式
5 Bonnesen型等周不等式
第七講 等周不等式和測度集中
1 Brunn—Minkowski不等式和Prekopa—Leindler不等式
2 等周不等式和索伯列夫不等式
3 球面上的等周不等式與測度集中
4 Levy引理的另一種形式及其直接證明
第八講 無窮維函數的求導和積分
1 無窮維函數的構造
2 無窮維極值問題——變分法
3 無窮維函數的積分與測度集中
第九講 振動問題與微分方程
1 彈簧的振動——由方程本身建立正弦函數和餘弦函數的性質
2 弦的振動——Fourier級數——無窮多守恆量
3 利用在平面上任意直線上的積分值來重構二元函數——一種簡單情形
第十講 Liouville理論——為什麼ex2的原函數不能表示成初等函數
1 初等函數的構造
2 初等函數的導數
3 添加對數函數與指數函數後，關於復合多項式的導數的一個結果
4 Liouville定理及其證明
5 Liouville定理的應用——某些初等函數的原函數不能表示成初等函數的例子和證明
第十一講 若干雜題
1 閉曲線所圍面積公式與Green公式的另一個推導
2 Euler交錯和的表示和計算問題
3 Brouwer的不動點定理和Poincare不動點定理
4 Rolle定理及其高維和無窮維推廣的問題
5 圓周上的函數
6 對嚴格化理論的需要——極限語言的可操作性定義
7 關於分數階微積分的閑話
參考文獻
後記