●篇復變函數
章復變函數及其導數與積分
1.1引言
1.2復數與復變函數
1.2.1復數
1.2.2復平面
1.2.3復數加法的幾何表示
1.2.4復平面上的點集
1.2.5復變函數
1.3復變函數的極限與連續
1.4復球面與無窮遠點
1.5解析函數
1.5.1復變函數的導數與微分
1.5.2解析函數的概念及其簡單性質
1.5.3柯西·黎曼條件
1.6復變函數的積分
1.6.1復變函數積分的概念與計算
1.6.2復變函數積分的簡單性質
1.6.3柯西積分定理及其推廣
1.6.4柯西積分公式及其推論
習題
第2章復變函數的冪級數
2.1復數序列和復數項級數
2.1.1復數序列及其收斂性
2.1.2復數項級數及其收斂性
2.1.3復數項級數的絕對收斂性
2.2復變函數項級數和復變函數序列
2.3冪級數
2.4冪級數和函數的解析性
2.5解析函數的泰勒展開式
2.6解析函數零點的孤立性及唯一性定理
2.7解析函數的洛朗級數展開式
2.7.1洛朗級數
2.7.2解析函數的洛朗展開式
2.7.3洛朗級數與泰勒級數的關繫
2.7.4解析函數在孤立奇點鄰域內的洛朗展開式
2.8解析函數的孤立奇點及其分類
2.8.1可去奇點
2.8.2極點
2.8.3本性奇點
2.8.4復變函數在無窮遠點的性態
習題
第3章留數及其應用
3.1留數與留數定理
3.2留數的計算
3.2.1一級極點的情形
3.2.2不錯極點的情形
3.3無窮遠點處的留數
3.4留數在定積分計算中的應用
3.4.1形如∫2π0R(cosθ,sinθ)dθ的積分
3.4.2形如∫+∞-∞R(x)dx的積分
3.4.3形如∫+∞-∞P(x)Q(x)eimxdx的積分
3.5復變函數在物理中的應用簡介
3.5.1解析函數的物理解釋
3.5.2兩種特殊區域上解析函數的實部和虛部的關繫泊松積分公式
習題
第2篇矢量分析與場論
第4章矢量分析與場論初步
4.1矢量函數及其導數與積分
4.1.1場與矢量函數
4.1.2矢量函數的極限與連續性
4.1.3矢量函數的導數
4.1.4矢量函數的積分
4.2梯度、散度與旋度在正交曲線坐標繫中的表達式
4.2.1直角坐標繫下“三度”及哈密頓算子
4.2.2正交曲線坐標繫下的“三度
4.3正交曲線坐標繫下的拉普拉斯算符、格林公式和格林第二公式
4.4算子方程
習題
第3篇數學物理方法
第5章數學物理方程及其定解條件
5.1數學物理基本方程的建立
5.1.1波動方程
5.1.2熱傳導方程和擴散方程
5.1.3泊松方程和拉普拉斯方程
5.1.4亥姆霍茲方程
5.2定解條件
5.2.1初始條件
5.2.2邊界條件
5.3定解問題的提法
5.4二階線性偏微分方程的分類與化簡解的疊加原理
5.4.1含有兩個自變量二階線性偏微分方程的分類與化簡
5.4.2線性偏微分方程的疊加原理
習題
第6章分離變量法
6.1(1+1)維齊次方程的分離變量法
6.1.1有界弦的自由振動
6.1.2有限長杆上的熱傳導
6.2二維拉普拉斯方程的定解問題
6.3非齊次方程的解法
6.4非齊次邊界條件的處理
習題
第7章二階常微分方程的級數解法本征值問題
7.1二階常微分方程的級數解法
7.1.1常點鄰域內的級數解法
7.1.2勒讓德方程的級數解
7.1.3正則奇點和非正則奇點附近的級數解
7.1.4貝塞爾方程的級數解
7.2施圖姆·劉維爾本征值問題
7.2.1施圖姆·劉維爾方程
7.2.2本征值問題的一般提法
7.2.3本征值問題的一般性質
習題
第8章貝塞爾函數及其應用
8.1貝塞爾方程的引入
8.2貝塞爾函數的性質
8.2.1貝塞爾函數的基本形態及本征值問題
8.2.2貝塞爾函數的遞推公式
8.2.3貝塞爾函數的正交性和模方
8.2.4按貝塞爾函數的廣義傅裡葉級數展開
8.3貝塞爾函數在定解問題中的應用
8.4修正貝塞爾函數
8.4.1類修正貝塞爾函數
8.4.2第二類修正貝塞爾函數
8.5可化為貝塞爾方程的方程
8.5.1開爾文方程
8.5.2其他例子
8.5.3含貝塞爾函數的積分
習題
第9章勒讓德多項式及其應用
9.1勒讓德方程與勒讓德多項式的引入
9.2勒讓德多項式的性質
9.2.1勒讓德多項式的微分表示
9.2.2勒讓德多項式的積分表示
9.2.3勒讓德多項式的母函數
9.2.4勒讓德多項式的遞推公式
9.2.5勒讓德多項式的正交歸一性
9.2.6按Pn(x)的廣義傅裡葉級數展開
9.2.7一個重要公式
9.3勒讓德多項式的應用
9.4關聯勒讓德多項式
9.4.1關聯勒讓德函數的微分表示
9.4.2關聯勒讓德函數的積分表示
9.4.3關聯勒讓德函數的正交性與模方
9.4.4按Pml(x)的廣義級數展開
9.4.5關聯勒讓德函數的遞推公式
9.5其他特殊函數方程簡介
9.5.1埃爾米特多項式
9.5.2拉蓋爾多項式
習題
0章行波法與積分變換法
10.1一維波動方程的達朗貝爾公式
10.2三維波動方程的泊松公式
10.2.1三維波動方程的球對稱解
10.2.2三維波動方程的泊松公式
10.2.3泊松公式的物理意義
10.3傅裡葉積分變換法求解定解問題
10.3.1預備知識——傅裡葉變換及性質
10.3.2傅裡葉變換法
10.4拉普拉斯變換法求解定解問題
10.4.1拉普拉斯變換及其性質
10.4.2拉普拉斯變換法
習題
1章格林函數法
11.1引言
11.2δ函數的定義與性質
11.2.1δ函數的定義
11.2.2廣義函數的導數
11.2.3δ函數的傅裡葉變換
11.2.4高維δ函數
11.3泊松方程的邊值問題
11.3.1格林公式
11.3.2解的積分形式——格林函數法
11.3.3格林函數關於源點和場點是對稱的
11.4格林函數的一般求法
11.4.1無界區域的格林函數
11.4.2用本征函數展開法求邊值問題的格林函數
11.5用電像法求某些特殊區域的狄利克雷·格林函數
11.5.1泊松方程的狄利克雷·格林函數及其物理意義
11.5.2用電像法求格林函數
習題
附錄A常微分方程簡介
附錄BΓ函數的定義和基本性質
附錄C通過計算留數求拉普拉斯變換的反演
附錄D傅裡葉變換和拉普拉斯變換簡表
內容簡介
本書包含復變函數、矢量分析與場論、數學物理方法三部分。復變函數部分的基本內容有： 復數與復變函數的基本概念、復變函數的導數與積分、解析函數的性質和應用、復變函數的冪級數表示方法、留數定理及其應用等。矢量分析與場論部分介紹矢量函數及其導數與積分、梯度、散度和拉普拉斯算符在正交曲線坐標繫中的表達式，以及算子方程等。數學物理方法部分的基本內容包括： 波動方程、熱傳導方程、穩定場位勢方程的導出、定解問題的提法； 分離變量法求解定解問題的過程和步驟； 二階線性常微分方程的冪級數解法和斯圖姆-劉維爾本征值問題； 貝塞爾函數和勒讓德函數的定義、性質與應用； 求解定解問題的行波法、積分變換法和格林函數法等。本書可以作為理科非數學專業和工科各專業本科生的教材或教學參考書。
