高等代數是高等院校數學類專業的一門基礎主干課，其思想、內容和方法是學習後續課程的基礎。掌握其思想、內容和方法是學習高等代數的基本目標。為此，筆者根據教育部關於高校精品課程教材建設的要求，結合多年來積累的教學經驗及對教學改革的積極思考和探索，編寫了這本《高等代數》。本書由高孝忠編著。

高等代數是高等院校數學類專業的一門基礎課， 同時也是研究生入學考試的基本內容。《高等代數》 根據多年的教學經驗編寫，力求每一個基本概念都有 一個現實的背景，使學生容易接受那些抽像的對像。 書中注重基本線索與思想方法的介紹，可讓學生站在 一個較高的平臺去看待所學的知識。全書共9章，分 別介紹一元多項式、行列式、矩陣、線性方程組、線 性空間、線性變換以及二次型等內容。 《高等代數》可作為綜合性大學、師範院校數學 繫各專業的教材，還可以作為高等學校數學繫教師以 及數學工作者的參考用書。本書由高孝忠編著。

緒論1
第1章 基本概念3
1.1 數學歸納法3
1.1.1 正整數集3
1.1.2 數學歸納法5
習題1.16
1.2 數環與數域7
1.2.1 數環與數域的概念7
1.2.2 整數環的一些整除性質9
1.2.3 群、環與域11
習題1.212
第2章 多項式13
2.1 一元多項式及其運算13
2.1.1 一元多項式的概念13
2.1.2 一元多項式的運算14
習題2.117
2.2 多項式的整除性17
2.2.1 整除的概念與性質17
2.2.2 帶餘除法19
習題2.220
2.3 多項式的*大公因式20
2.3.1 *大公因式與輾轉相除法20
2.3.2 兩個多項式互素24
習題2.325
2.4 多項式函數26
2.4.1 多項式函數26
2.4.2 多項式函數的零點28
習題2.430
2.5 多項式的分解30
2.5.1 不可約多項式30
2.5.2 因式分解定理32
習題2.534
2.6 重因式34
2.6.1 重因式與重根34
2.6.2 多項式的導數35
2.6.3 重因式的判別法36
習題2.638
2.7 實數與復數域上的多項式38
2.7.1 復數域上的多項式38
2.7.2 實數域上的多項式40
習題2.742
2.8 有理數域上的多項式43
2.8.1 有理數域上多項式的可約性43
2.8.2 有理數域上多項式的有理根45
習題2.847
總練習題247
第3章 行列式51
3.1 行列式的引入與排列51
3.1.1 行列式的引入51
3.1.2 排列53
習題3.155
3.2 n階行列式55
3.2.1 n階行列式的概念55
3.2.2 n階行列式的性質58
習題3.261
3.3 行列式按一行(列)展開62
3.3.1 子式與代數餘子式62
3.3.2 行列式按一行(列)展開63
習題3.368
3.4 克萊姆法則69
習題3.473
總練習題373
第4章 線性方程組77
4.1 消元法與矩陣的初等變換77
4.1.1 消元法77
4.1.2 矩陣與其初等變換78
習題4.185
4.2 n維向量86
4.2.1 向量的概念86
4.2.2 線性表出88
習題4.290
4.3 在Fn中向量組的線性關繫91
4.3.1 線性相關與線性無關91
4.3.2 極大線性無關組93
習題4.395
4.4 矩陣的秩95
4.4.1 矩陣的秩的概念95
4.4.2 矩陣的秩的性質98
習題4.4100
4.5 線性方程組的可解性與解結構101
4.5.1 線性方程組的可解性101
4.5.2 線性方程組的解結構103
習題4.5108
總練習題4109
第5章 矩陣112
5.1 矩陣的運算112
5.1.1 矩陣的線性運算112
5.1.2 矩陣的乘法運算113
5.1.3 矩陣的轉置117
習題5.1118
5.2 可逆矩陣119
5.2.1 可逆矩陣的概念與性質119
5.2.2 矩陣可逆的充分條件121
習題5.2123
5.3 初等矩陣124
5.3.1 初等矩陣的概念與性質124
5.3.2 等價矩陣的概念與性質128
5.3.3 利用初等變換求矩陣的逆131
習題5.3134
5.4 分塊矩陣134
5.4.1 分塊矩陣的概念與運算134
5.4.2 分塊矩陣的應用138
習題5.4141
總練習題5142
第6章 向量空間145
6.1 向量空間的概念與簡單性質145
6.1.1 向量空間的引入145
6.1.2 向量空間的定義146
6.1.3 向量空間的基本性質148
習題6.1149
6.2 在向量空間V中向量組的線性關繫149
6.2.1 線性相關與線性無關149
6.2.2 向量組之間的線性關繫151
6.2.3 向量空間V中的極大線性無關組153
習題6.2154
6.3 基、維數與坐標155
6.3.1 向量空間的基與維數155
6.3.2 坐標157
習題6.3159
6.4 基變換與坐標變換159
6.4.1 基變換159
6.4.2 坐標變換161
習題6.4163
6.5 子空間164
6.5.1 子空間的概念164
6.5.2 生成子空間165
習題6.5167
6.6 子空間的交與和168
6.6.1 子空間的交與和的概念168
6.6.2 子空間的維數公式171
6.6.3 子空間的直和172
習題6.6174
6.7 向量空間的同構174
6.7.1 映射174
6.7.2 同構映射175
6.7.3 向量空間的同構178
習題6.7179
總練習題6179
第7章 線性變換182
7.1 線性變換的概念與性質182
7.1.1 線性變換的概念182
7.1.2 線性變換的性質183
習題7.1187
7.2 線性變換的運算188
7.2.1 線性變換的線性運算188
7.2.2 線性變換的乘法190
7.2.3 線性變換的逆192
習題7.2194
7.3 線性變換的矩陣194
7.3.1 線性變換與其矩陣的概念195
7.3.2 線性變換與其矩陣的性質197
習題7.3200
7.4 不變子空間201
7.4.1 不變子空間的概念201
7.4.2 用不變子空間尋找簡單相似矩陣203
習題7.4205
7.5特 征值與特征向量205
7.5.1 特征值與特征向量的概念205
7.5.2 特征多項式207
習題7.5211
7.6 矩陣的對角化211
7.6.1 矩陣可對角化的**個等價條件211
7.6.2 矩陣可對角化的第二個等價條件214
習題7.6216
7.7 若爾當標準形介紹217
7.7.1 若爾當矩陣217
7.7.2 若爾當標準形219
習題7.7221
總練習題7221
第8章 歐氏空間225
8.1 歐氏空間的定義及度量225
8.1.1 歐氏空間的定義225
8.1.2 歐氏空間的度量227
習題8.1230
8.2 規範正交基230
8.2.1 規範正交基的概念230
8.2.2 規範正交基的存在性232
習題8.2235
8.3 子空間的正交關繫235
8.3.1 向量與子空間的正交關繫235
8.3.2 子空間與子空間的正交關繫239
習題8.3241
8.4 正交變換241
8.4.1 正交變換的概念與性質241
8.4.2 正交變換的分類244
8.4.3 歐氏空間的同構244
習題8.4246
8.5 對稱變換與對稱矩陣247
8.5.1 對稱變換的概念與性質247
8.5.2 實對稱矩陣的對角化248
8.5.3 實對稱矩陣的對角化步驟249
習題8.5251
8.6 酉空間與酉變換介紹252
8.6.1 酉空間的概念與性質252
8.6.2 酉變換與對稱變換253
習題8.6254
總練習題8255
第9章 二次型258
9.1 二次型及其矩陣258
9.1.1 二次型的定義258
9.1.2 二次型的化簡與對稱矩陣的合同260
9.1.3 矩陣的相似與合同之間的關繫263
習題9.1263
9.2 用可逆替換簡化二次型264
9.2.1 配方法264
9.2.2 矩陣法267
習題9.2270
9.3 規範形270
9.3.1 規範形的概念271
9.3.2 慣性定理272
習題9.3274
9.4 正定二次型274
9.4.1 正定二次型的概念274
9.4.2 二次型正定的等價條件275
9.4.3 利用矩陣的順序主子式判別其正定性276
習題9.4279
9.5 雙線性映射279
9.5.1 量度矩陣的概念與性質279
9.5.2 雙線性映射與二次型282
習題9.5284
總練習題9285
參考文獻287