《沒有盡頭的任務》一書從馬丁·加德納為《科學美國人》雜志撰寫的專欄文章中精選而成。這些文章均繫趣味數學問題，內容涉及：平面宇宙的奇跡、保加利亞單人牌戲以及其他一些似乎沒有盡頭的任務、紐結的拓撲學、有向圖與喫人者等。主要供青少年閱讀。

有3位傳教士與3個食人者在河的右岸，打算利用一隻小劃子擺渡到左 岸去。劃子很小，一次至多隻能搭載2個人。食人者毫無人性，不論在左岸 還是右岸，隻要人數占優(多出一人就行)，傳教士就會被他們殺死喫掉。 所有人都能安然渡河嗎?如果能，試問最少要渡幾次？ 《沒有盡頭的任務》一書為我們講解的就是此類趣味數學知識，主要 供青少年閱讀。 《沒有盡頭的任務》由馬丁·加德納編寫。

序言
第1章 平面宇宙的奇跡
第2章 保加利亞單人牌戲以及其他一些似乎沒有盡頭的任務
第3章 雞蛋趣話，**部分
第4章 雞蛋趣話，第二部分
第5章 紐結的拓撲學
第6章 帝國的地圖
第7章 有向圖與喫人者
第8章 晚宴客人，女中學生與戴手銬的囚犯
第9章 大魔群與其他散在單群
**0章 出租車幾何學
**1章 鴿巢的力量
進階讀物

假如你手頭有個籃子，裝著100隻雞蛋，另外還有許許多多盛放雞蛋的 紙板箱。你的任務是要把所有的雞蛋放進紙板箱裡。每一步(每一次動作) 或者是把一隻雞蛋放進紙板箱，或者是把一隻雞蛋從紙板箱裡拿出來重新 放回籃子裡。規則是：接連兩次把雞蛋放進紙板箱之後，就必須從紙板箱 裡取出一隻雞蛋，重新放回到籃子裡。盡管這種方法效率極低，荒謬透頂 ，但顯然，*後所有的雞蛋都能裝進紙板箱裡去。
現在假定籃子裡可以盛放任意多個有限數的雞蛋。如果一開始你要了 許許多多雞蛋，那麼完成這個任務就將變得十分艱巨。不過，*初的雞蛋 數一旦確定下來，完成這個任務的所需步數也就有了一個有限數的確定上 限。
如果規則允許你在任何時候都可以把任意數目的雞蛋放回籃子裡，情 況就會發生根本的變化。這時，完成這一任務所需的步數就不再有一個上 限，甚至開始時籃子裡隻有兩個雞蛋，也是如此。所以，把有限數的雞蛋 進行裝箱的任務將會按照規則的不同，或必定可以完成，或沒完沒了。也 可以由你選擇，使這個任務在有限步數內完成，或無限地進行下去。
我們現在來考慮幾個有趣的數學遊戲，它們有以下特點。從直觀上看 ，你似乎能夠把完成任務之日永遠地拖延下去，但實際上在有限多步之後 任務必然完成，這個結局無法避免。
我們的**個例子是從哲學家兼作家和邏輯學家斯穆揚(Raymond M.Smu11yan)的一篇文章裡找來的。設想你有無窮多個打落袋用的臺球，每 個球上都標有一個正整數，而且對於每一個正整數，都有無窮多個臺球以 此數作其標號。你還有一隻箱子，其中盛有有限多個標記著數字的臺球。
你的目標是要把箱子出空。每一步要求你從箱子裡取出一隻臺球，同時換 上任意有限多隻標號比它小的臺球。1號臺球是**的例外，因為沒有比1 *小的號碼，所以對每個1號臺球來說，沒有臺球來替換它，隻能是有出無 人了。
不難用有限多步就把箱子出空。這隻要把每個標號比1大的臺球用一個 1號臺球來替換，直到箱子裡剩下來的全是1號臺球，然後再每次取出一個1 號臺球就行了。不過，規則允許你用任意有限數目標號較小的臺球來替換 一個標號大於1的臺球。譬如說，你可以取出一個標號為1000的臺球，而換 上十億個標號為999的臺球，再加上一百億個標號為998的臺球，再加上一 百億億個標號為997的臺球，再加上……。這樣一來，箱子裡臺球的總數在 每一步都增加得超乎你的想像。試問，你是否能夠永遠拖延下去，使箱子 不會出空呢？實際上，箱子終有出空之日，這個結局是無法避免的，盡管 乍看起來這似乎令人難以置信。
請注意，比起雞蛋遊戲來，出空箱子所需的步數要龐大得多，不僅是 開始時的臺球數沒有限制，而且每次取出一個標號大於1的臺球之後，用來 替換它的臺球的數目也沒有限制。借用康韋(John Horton Conway)的話來 說，這個過程乃是“無界的無界”。在此遊戲的每一個階段，隻要箱子裡 還有著一個標號大於1的臺球，就不可能預見要把箱子裡1號臺球之外的臺 球全部取出究竟需要多少步。(如果所有臺球的標號全都是1，出空箱子的 步數當然就和1號臺球的個數一樣多。)不過，無論你替換臺球的辦法多麼 高明，在經歷了有限多步之後，箱子終究是會出空的。當然，我們必須假 設，盡管不一定要求你長生不老，然而也需要你活得足夠長來完成這項任 務。
斯穆揚將這個驚人結果發表在他的一篇論文《樹圖與臺球遊戲》中， 此文刊載於《紐約科學院年報》(第321卷，86—90頁，1979年)上，文中給 出了好幾個證明，其中有一個是用歸納法來簡單論證的。斯穆揚的論述好 得無以復加，我沒有本事改進，還是照用他的原話為好： 如果箱子裡的臺球全是標號1，那麼顯然我們輸定了。假設箱子裡臺球 的標號*大是2，那麼，一開始我們有著有限多個2號臺球和有限多個1號臺 球。我們不可能一直老是把1號球扔出去，因而遲早我們總要把其中的一個 2號球拿走。這樣一來，箱子裡的2號球就少了一個(不過，箱子裡卻可能包 含比開始時要多得多的1號臺球)。現在，我們還是不能老是在把1號球扔出 去，因此遲早我們總還是要扔出另一個2號球。可以看出，經過有限多步之 後，我們必然要扔出*後一隻2號臺球，這時我們又回到了箱子裡隻有1號 臺球的情形。我們已經知道，這種情形肯定是要失敗的。這就證明了，當 臺球的*大標號為2時，過程必將中止。那麼，*大標號為3時又如何呢？ 我們不能一直不斷地把標號為2的球扔出去(我們剛剛證明了這一點)，因此 我們遲早總要扔出去一個3號球。所以，到頭來我們必定要扔出去*後一個 3號球。這就把問題歸結到上面的、*大標號為2的情形，而這種情形我們 已經解決了。
斯穆揚還用樹圖作為這個遊戲的模型來證明它必定終止。所謂“樹” 就是指一組線段，每條線段聯結兩個點，而且每一個點都通過**的一串 線段聯結到某一點，該點稱為樹的根。臺球遊戲的**步(用臺球裝箱)可 通過模型來刻畫：把每隻球表示為一個點，點的號碼等同於球的號碼，再 用一根線段通向樹根。當一隻球被許多隻標號較低的球替換時，球上的原 有標號將被抹去，而代之以號數較大的點，然後這些點都聯結到那個被移 去的球所代表的點。就這樣，樹圖將會逐步地向上增長，而其“端點”(不 是“根”、而且隻是用一根線段與別的點相聯結的點)就表示在該階段箱子 裡的臺球。P31-34