數學是關於數字的科學。
你也許認為電飯煲就是用來煮米飯的。這話沒錯，但同一個電器也可以用來做其他的事情：做凝脂奶油，煮蔬菜，蒸一隻雞。同樣，數學的確關乎數字，但它也關乎很多其他的東西的。
數學是關於得出正確答案的科學。
烹飪是關於把各種配料調和在一起，做出美味食物的藝術。有時它更強調的是方法，而不是配料本身，就像做凝脂奶油的食譜一樣，配料隻有一樣，整個食譜講的是一個方法。數學是關於如何把各種想法組合到一起，創造出令人激動的新想法的科學。同樣，有時它更強調的是方法，而不是“配料”本身。
數學是非對即錯的科學。
烹飪可能會失敗——你的蛋奶糊可能會結塊，你的蛋奶酥可能會塌掉，你的雞肉可能沒熟，讓每個喫了它的人都食物中毒了 。或者，某些事物可能並不會使你中毒，但總有一些食物要比另一些更好喫。有時候，烹飪“失敗”了，你卻在無意中發明了一種美味的新食譜：塌掉的巧克力蛋奶酥柔軟而綿密；做餅干時忘了把巧克力融掉，結果做出了巧克力豆餅干。數學也是如此。在學校，如果你寫下10 + 4 = 2，你會被告知這是錯的，但在某些情況下，這個等式是對的，比如計算時間——上午10點過去4個小時就是下午2點。事實上，數學的世界比你你所知道的更加神奇和不可思議…
你是數學家？那你一定非常聰明。
雖然我很喜歡別人說我聰明，但這個迷思更說明了人們普遍認為數學很難。一個許多人不理解的事實是，數學的目的是讓事情簡單化。這裡有個問題——如果數學是為了簡化，那麼這就說明這件事情在一開始是復雜的。數學的確很難，但它也能讓復雜的事情變得簡單。事實上，正因為數學很難，數學纔能讓數學變得更容易。
很多人要麼害怕數學，要麼很容易被數學搞糊塗，或是兩者兼具。或者，也有可能是他們在學校裡上過的數學課讓他們對這一切感到反感。我能理解這些，我也曾經對學校裡的體育課感到反感，並且從未真正克服這一障礙。我在運動方面的表現是如此之差，以至於我的老師們都難以相信世界上竟然真的有運動這麼差的人存在。但現在我也挺健康的，甚至還參加了紐約馬拉松的比賽。至少現在，我體會到了體育鍛煉的好處，但我仍然害怕任何一種團隊性的體育項目。
你究竟是怎麼做數學研究的呢？你也不可能發現一個新的數字啊。
這本書就是我對這個問題的回答。如果我正身處一場雞尾酒會，而有其他人向我提出了這個問題，那我隻能說我很難給出一個言簡意賅又不失新意的答案，不是因為說的太多而占用聽者的時間，就是因為答案太出乎意料而嚇到旁邊的人。是的，在一場正式的宴會上，嚇到別人的方法之一就是談論數學。
沒錯，你的確不可能發現一個新的數字。那我們能在數學裡發現什麼新東西呢？在解釋這個“新的數學”是什麼之前，我需要先澄清一些關於數學是什麼的誤解。事實上，不隻整體意義上的數學不僅僅關乎數字，我將要講述的這個數學的分支甚至和數字一點兒關繫都沒有。這個分支叫作“範疇論”，可以被理解為“關於數學的數學”。它是關於關繫、語境、過程、原理、結構、蛋糕和蛋奶糊的。
是的，甚至是關於蛋奶糊的。因為數學是關於類比的，而接下來我將要用各式各樣的類比來解釋數學是如何運作的，包括蛋奶糊、蛋糕、派、松餅、甜甜圈、貝果面包、蛋黃醬、酸奶、千層面和壽司。
不管你認為數學是什麼，現在，請暫時放下你的想法。
我將給你一個不同的答案。
