? 這本書是由我國知名數學家蔡天新教授寫作的一本中國人自己的“數學簡史”； 
? 作者認為，數學的觸角幾乎遍及人類社會的每一個角落，以及歷史和生命的每一個瞬時； 
? 本書入選新聞出版廣電總局向全國青少年推薦的百種優秀圖書，適合小學生、中學生、大學生還有“門外漢”了解數學的發展史，以及數學在人類文明的進程中扮演的不可或缺的角色。 
? 美是數學的一個重要特征，這一特征體現在了數學發展的整個歷史進程中，但由於數學的嚴格性和抽像性而難以為“局外人”所體會。《數學簡史》做到了這一點，作者蔡天新是難得的詩人數學家。在閱讀本書時體會其無處不在的詩韻本身就是一種享受，她是數學自身固有的美和作者優雅的藝術品味的巧妙融合。 
——彭實戈，數學家 

? 小時候我們常把聰明的同學稱為“數學腦瓜”，是指數學好纔聰明。數學不僅僅是計算方法，更重要的是思維方式。我一直想推薦一本數學史，讀過幾本，覺得還是太專業，太難讀。但這本《數學簡史》我覺得任何人都會有興趣讀下去，且會有所收獲。數學的發展主要在西方，但作者並沒有忘記中國。更可貴的是，這本書著眼於從整個人類文明的角度來介紹數學，這就讓人讀起來興趣盎然了。 
——梁小民，經濟學家 
? 人類智力高低的標準是什麼？一直以來有較多的爭議。但數學作為人類智慧的結晶，卻是長久以來達成的共識。了解數學的歷史，既能了解作為高級動物的人類發展的歷史，更能窺見人類智力的進步。蔡天新的《數學簡史》敘述角度新穎、文字優美，讓我們一起享受這本書帶來的智趣吧。 
——饒 毅，生物學家

在一般人眼中，數學意味著繁難的計算、無盡的邏輯推演，以及如天書般的公式和符號。這些讓數學看起來離我們的生活很遠，且與文化藝術這類精神生活毫不相干。而在《數學簡史》的作者蔡天新看來，數學與科學、人文的各個分支一樣，都是人類大腦進化和智力發展進程的反映。它們在特定的歷史時期必然相互影響，並呈現出某種相通的特性。 
《數學簡史》是一部另類的“數學簡史”，跨越了不同的地域和種族，依次探討了數學與不同文明之間的關繫，並各有側重。關於古代，包括四大文明古國和希臘、阿拉伯，《數學簡史》著力於發現有現代意義的亮點；至於近代文明，則考察了文藝復興的藝術與幾何學、工業革命與微積分、法國大革命與應用數學的關繫。對現代數學與現代藝術進行闡述和比較，也是《數學簡史》的一大亮點。 
數學來自人類對生活和世界的觀察，以及對現實事物和問題的思考。數學的觸角幾乎遍及人類社會的每一個角落，以及歷史和生命的每一個瞬時。希望讀者能通過《數學簡史》的閱讀，拉近與數學這門抽像學科的心理距離，從中理解各自所學或從事專業與數學的關繫，進而反思人類文明的歷史進程甚或生活的意義。

（中國）蔡天新 
蔡天新，浙江臺州人，曾是少年大學生，山東大學理學博士，浙江大學數學學院教授、博士生導師。同時是一位詩人、作家、攝影師，近作有詩集《美好的午餐》《日內瓦湖》，隨筆集《數學傳奇》《輕輕掐了她幾下》，旅行記《美國，天上飛機在飛》《裡約的誘惑——回憶拉丁美洲》，攝影集《從看見到發現》，以及《數之書》，主編《現代詩110首》（藍、紅、黃卷）、《漫遊之詩》和《冥想之詩》。他的作品被譯成20多種語言，並有英語、法語、西班牙語等外版著作10餘種。 
近年來，蔡天新應邀在海內外大中小學、圖書館書店和機關部隊做了300多場公眾講座，先後在紀錄片《西湖》《南宋》裡出鏡解說。紐約、巴黎、劍橋、舊金山、法蘭克福、墨西哥城、內羅畢等城市舉辦過他的詩歌朗誦會，他的攝影展先後在深圳、杭州、南京、鄭州、合肥、上海、休斯頓等城市舉辦。 
蔡天新在上大學的路上*次見到火車，如今足跡已遍及中國每個省份和包括埃及、巴比倫、印度、波斯、腓尼基、迦太基、瑪雅、印加和希臘在內的100多個國家和地區。2015年，蔡天新入選“首屆杭州十大創新人物”。

美是數學的一個重要特征，這一特征體現在了數學發展的整個歷史進程中，但由於數學的嚴格性和抽像性而難以為“局外人”所體會。《數學簡史》做到了這一點，作者蔡天新是難得的詩人數學家。在閱讀本書時體會其無處不在的詩韻本身就是一種享受，它是數學自身固有的美和作者優雅的藝術品位的巧妙融合。 
——彭實戈，數學家 

小時候我們常把聰明的同學稱為“數學腦瓜”，是指數學好纔聰明。數學不僅僅是計算方法，更重要的是思維方式。我一直想推薦一本數學史，讀過幾本，覺得還是太專業，太難讀。但這本《數學簡史》我覺得任何人都會有興趣讀下去，且會有所收獲。數學的發展主要在西方，但作者並沒有忘記中國。更可貴的是，這本書著眼於從整個人類文明的角度來介紹數學，這就讓人讀起來興趣盎然了。 
——梁小民，經濟學家 

人類智力高低的標準是什麼？一直以來有較多的爭議。但數學作為人類智慧的結晶，卻是長久以來達成的共識。了解數學的歷史，既能了解作為高級動物的人類發展的歷史，更能窺見人類智力的進步。蔡天新的《數學簡史》敘述角度新穎、文字優美，讓我們一起享受這本書帶來的智趣吧。 
——饒 毅，生物學家

前 言 VII 
*章 中東，或數學的起源 
數學的起源 003 
計數的開始 003 
數基和進制 005 
阿拉伯數繫 007 
形而幾何學 010 
尼羅河文明 012 
奇特的地形 012 
萊茵德紙草書 014 
埃及分數 016 
在河流之間 019 
巴比倫尼亞 019 
泥板書上的根 021 
普林頓322 號 022 
結語 025 
第二章 希臘的那些先哲們 
數學家的誕生 029 
希臘人的出場 029 
論證的開端 031 
畢達哥拉斯 034 
柏拉圖學園 039 
芝諾的烏龜 039 
柏拉圖學園 041 
亞裡士多德 045 
亞歷山大學派 048 
《幾何原本》 048 
阿基米德 051 
其他數學家 054 
結語 059 
第三章 中世紀的中國 
引子 065 
先秦時代 065 
《周髀算經》 067 
《九章算術》 069 
從割圓術到孫子定理 073 
劉徽的割圓術 073 
祖氏父子 076 
孫子定理 079 
瀋括和賈憲 083 
楊輝和秦九韶 085 
李冶和朱世傑 090 
結語 094 
第四章 印度人和波斯人 
從印度河到恆河 099 
雅利安人的宗教 099 
《繩法經》和佛經 101 
零號和印度數字 104 
從北印度到南印度 108 
阿耶波多 108 
婆羅摩笈多 110 
馬哈維拉 112 
婆什迦羅 115 
神賜的土地 119 
阿拉伯帝國 119 
巴格達的智慧宮 121 
花拉子密的《代數學》 123 
波斯的智者 127 
伊斯法罕的海亞姆 127 
大不裡士的納西爾丁 131 
撒馬爾罕的卡西 134 
結語 137 
第五章 從文藝復興到微積分的誕生 
歐洲的文藝復興 143 
中世紀的歐洲 143 
斐波那契的兔子 145 
阿爾貝蒂的透視學 147 
達·芬奇和丟勒 150 
微積分的創立 154 
近代數學的興起 154 
解析幾何的誕生 157 
微積分學的先驅 161 
牛頓和萊布尼茨 164 
結語 171 
第六章 分析時代與法國大革命 
分析時代 177 
業餘數學家之王 177 
微積分學的發展 182 
微積分學的影響 186 
伯努利家族 190 
法國大革命 194 
拿破侖·波拿巴 194 
高聳的金字塔 197 
法蘭西的牛頓 201 
皇帝的密友 203 
結語 207 
第七章 現代數學與現代藝術 
代數學的新生 213 
分析的嚴格化 213 
阿貝爾和伽羅華 217 
哈密爾數 221 
幾何學的變革 227 
幾何學的家丑 227 
非歐幾何學的誕生 229 
黎曼幾何學 234 
藝術 239 
愛倫·坡 239 
波德萊爾 242 
從模仿到機智 246 
結語 249 
第八章 抽像化：20 世紀以來 
走向抽像化 255 
集合論和公理化 255 
數學的抽像化 259 
繪畫中的抽像 265 
數學的應用 270 
理論物理學 270 
生物學和經濟學 274 
計算機和混沌理論 278 
數學與邏輯學 286 
羅素的悖論 286 
維特根斯坦 291 
哥德爾定理 295 
結語 298 
附錄1 數學年表 303 
附錄2 常用數學符號的來歷 307 
參考文獻 309 
人名索引 313

數學的應用：計算機與人工智能 
一般來說，計算機是指能接收數據，按照程序指令進行運算並提供運算結果的自動電子機器。在計算機的歷史上，起重要革新作用的幾乎全是數學家。直到20 世紀70 年代末，中國大學裡的電子計算機專業還大多設在數學繫，就像康德時代數學隸屬於哲學繫一樣。可是如今，多數大學都有了一兩個計算機學院。用機器來代替人工計算，一直是人類的夢想。或許*早使用算盤的並非中國人，但長期以來使用*廣泛的當屬中國的算盤。在明代（1371）出版的一本書裡，就有十檔算盤的插圖，但它的實際發明時間遠在此之前。數學家程大位（1533—1606）的《算法統宗》（1592）詳述了珠算的規則、口訣和方法，標志著珠算的成熟。這本書也流傳到朝鮮和日本，使得算盤在這兩個國家十分流行。 
*個提出機械計算機設計思想的是德國人席卡德（W. Schickard，1592—1635），他在與開普勒通信時闡述了這一想法。*臺能進行加減計算的機械計算機是由帕斯卡爾發明的（1642），30 年後萊布尼茨制造出一臺能進行乘除和開方運算的計算機。使計算機擁有能對數據進行各種運算的裝置，是向現代計算機過渡的關鍵一步，由英國數學家巴貝奇（C. Babbage，1792—1871）首先邁出，在數論裡有一個與二項式繫數有關的同餘式用他的名字命名。巴貝奇設計的“分析機”（1834）分為運算室和存儲庫，外加一個專門控制運算程序的裝置，他曾設想根據穿孔卡片上的“0”和“1”來控制運算的順序，這無疑是現代電子計算機的雛形。 
遺憾的是，即便巴貝奇付出後半生的絕大多數精力和財產，甚至失去劍橋大學的盧卡斯教授職位，也沒幾個人能理解他的思想。據說真正支持他的人隻有三個：他的兒子——巴貝奇少將（在父親去世後還為分析機奮鬥了許多年）、未來的意大利總理和詩人拜倫（L. Byron，1788—1824）的女兒阿達。阿達（AdaLovelace，1815—1852）是拜倫和妻子的獨生女，她為某些函數編制了計算程序，可謂開現代程序設計之先河。由於時代的局限性，巴貝奇分析機的設計方案在技術實施上遇到了巨大的障礙，他借助通用程序控制數字計算機的天纔設想，要再過一個多世紀纔能實現。 
20 世紀以來，科學技術的迅猛發展帶來了堆積如山的數據問題，尤其是在“二戰”期間，軍事上的計算需要更使計算速度的改進成為燃眉之急。起初，人們采件來代替機械齒輪。1944 年，美國哈佛大學的數學家艾肯（H. H. Aiken，1900—1973）在IBM（國際商業機器公司）的支持下設計和制造出世界上*臺能實際操作的通用程序計算機（占地170 平方米），隻部分使用了繼電器，不久後他又制成了一臺全部用繼電器的計算機。與此同時，在賓夕法尼亞大學，人們用電子管來代替繼電器，於1946 年造出了*臺通用電子數字積分計算機（ENIAC），效率提高了1 000 倍。 
1947 年，數學家馮·諾依曼（John Von Neumann，1903—1957）提出了把ENIAC使用的外插程序改為存儲程序的想法，按照這種想法制成的計算機能按存儲器中的指令進行操作，從而大大加快了運算進程。1946 年，他與人合作發表論文，提出了並行處理和存儲數據計算機的綜合設計理念，對後來的數字計算機的設計產生了深遠影響。馮·諾依曼出生在布達佩斯，屬於多纔多藝的那類學者，在數學、物理學、經濟學、氣像學、爆炸理論和計算機領域都取得了卓越的成就。據說他是在火車站等車時遇見了ENIAC的設計師，後者向他討教計算機的技術問題，從而激起了他的興趣。 
另一位對計算機設計理念做出傑出貢獻的是英國數學家圖靈（A. Turing，1912—1954），他為了解決數理邏輯中的基本理論問題——相容性，以及數學問題的機器可計算性的判定，而提出了他的“理想計算機”模型。直到今天，數字計算機都沒有跳出這個理想模型的範疇： 
輸入/ 輸出裝置（帶子和讀寫頭）、存儲器和控制器。 
圖靈還研究過可以制造出能思考的計算機的理論，這方面的構想已成為人工智能研究的基礎。他還提出了會思考的機器的標準，即有超過30%的測試者不能確定被測試者是人還是機器，被稱為“圖靈測試”。遺憾的是，圖靈後來因為不堪忍受對其性取向進行的強迫治療，喫下用氰化物溶液浸泡過的蘋果而自殺。為了紀念圖靈，1966 年，英特爾公司出資設立了“圖靈獎”，這是計算機領域的*高獎項。1976年創建的蘋果電腦公司以一隻被咬了一口的蘋果作為標志，這家以推出iPhone 手機和iPad 平板電腦風靡全球的公司的信念是：隻有不完美纔能促使進步去追求完美。 
雖然數字計算機已歷經四代的發展，但從電子管、晶體管到集成電路、超大規模集成電路，均是采用二進制撥碼開關。這一點不會改變，即使將來有一天，電子計算機被取代（比如量子計算機）。這自然與19 世紀英國數學家布爾（G. Boole，1815—1864）所創立的布爾代數的符號邏輯體繫分不開，他完成了兩個世紀前萊布尼茨未競的事業，即創立了一套表意符號，每一個符號代表一個簡單的概念，再通過符號的組合來表達復雜的思想。布爾出身貧寒，他的父親是一個補鞋匠，他主要通過自學成材，後來成為愛爾蘭皇後學院（現名為科克大學）的數學教授，並入選英國皇家學會。不幸的是，布爾49 歲那年因淋雨患肺炎去世。當年早些時候，他的小女兒出世，她便是小說《牛虻》的作者伏尼契（E. L. Voynich，1864—1960）。 
作為抽像數學應用的一個光輝典範，計算機也已成為數學研究本身的有力工具和問題源泉，並推動了一個新的數學分支——計算數學的誕生。它不僅設計、改進各種數值計算方法，還研究與這些計算有關的誤差分析、收斂性和穩定性等問題。馮·諾依曼是這門學科的奠基人之一，不僅與人合作建立了全新的數值計算法——蒙特卡羅方法，還領導一個小組利用ENIAC首次實現了數值天氣預報，後者的中心問題是求解有關的流體力學方程。值得一提的是，20 世紀60 年代，中國數學家馮康（1920—1993）獨立創建了一種數值分析方法—法，可用於包括航空、電磁場和橋梁設計等在內的工程計算。 
1976 年秋， 伊利諾伊大學的兩位數學家阿佩爾（K. Appel，1932—2013）和哈肯（W. Haken，1928— ）借助電子計算機，證明了已有100 多年歷史的地圖四色定理，這是利用計算機解決重大數學問題的*鼓舞人心的範例。說起地圖四色定理，這是由英國人提出的難得一見的著名猜想。1852 年，剛剛在倫敦大學獲得雙學士學位的格斯裡（F. Guthrie，1831—1899）來到一家科研單位做地圖著色工作，他發現隻需用4 種顏色即可填滿地圖並使得任何兩個鄰國呈現不同顏色。但是，不僅他和仍然在讀的弟弟無法證明這個猜想，就連他的老師摩根和哈密爾頓也無能為力。於是，凱萊經過一番研究後在倫敦數學學會做了一個報告，使得這個問題出了名。 
從那以後，數學家們更多地借助計算機研究純粹數學，這方面突出的例子是孤立子（soliton）和混沌（chaos）的發現，它們是非線性科學的核心問題，可謂兩朵美麗的“數學物理之花”。孤立子比四色定理出現得還早，1834 年，英國工程師拉塞爾（J. S. Russell，1808—1882） 在馬背上跟蹤觀察運河中船隻突然停止所激起的水波，他發現它們在行進中形狀和速度沒有發生明顯的改變，於是稱其為“孤立波”。一個多世紀以後，數學家們又發現，兩個孤立波踫撞後仍是孤立波，因此被稱為“孤立子”，孤立子在光纖通信、木星紅斑活動、神經脈衝傳導等領域大量存在。混沌理論是描述自然界不規則現像的有力工具，被視為繼 
相對論和量子力學之後現代物理學的又一次革命。 
計算機科學的飛速發展，不僅離不開數理邏輯，也促進了與之相關的其他數學分支的變革或創立，前者的一個例子是組合學，後者的一個典型代表是模糊數學。組合學的起源可以追溯至《易經》中的“洛書”，萊布尼茨在《論組合的藝術》中率先提出了“組合”這個概念，後來數學家們從遊戲中歸納出一些新問題，如哥尼斯堡七橋問題（衍生出“圖論”這一組合數學的主要分支）、歐拉36 軍官問題、柯克曼女生問題和哈密爾頓環球旅行問題等。20 世紀下半葉以來，在計算機繫統設計和信息存儲、恢復中遇到的問題，為組合學研究注入了全新的強大動力。 
相比古老的組合學，1965 年誕生的模糊數學可以說是年輕的。按照經典集合的概念，每一個集合必須由素素之於集合的隸屬關繫是明確的，這一性質可以用特征函數μA (x) 來表示。 
模糊數學的創始人是阿塞拜疆出生的伊朗裔美國數學家、電器工程師扎德（L. A. Zadeh，1921—2017），他把特征函數改寫成所謂的隸屬函數μA (x) ：0G μA (x) G 1，在這裡A被稱為模糊集合，μA (x) 為隸屬度。經典集合論要求μA (x) 取0 或1 兩個值，模糊集合則突破了這一限制，μA (x)= 1 表示百分之百隸屬於A，μA (x)= 0 表示完全不屬於A，還可以有20%隸屬於A，80% 隸屬於A，等等。由於人腦的思維包括精確的和模糊的兩個方面，因此模糊數學在人工智能繫統模擬人類思維的過程中起到了重要作用，它與新型的計算機設計密切相關。但是，作為一個數學分支，模糊數學尚未成熟。 
現在，我們來談談計算機科學的一個分支——人工智能（ArtificialIntelligence，縮寫為AI）。人工智能的概念*初是在1956 年，由美國新英格蘭的達特茅斯學院提出的。人工智能的主要目標是使機器能夠勝任一些通常需要人類智能纔能完成的復雜工作，包括機器人、語言和圖像的識別及處理等，涉及機器學習、計算機視覺等領域。其中，機器學習的數學基礎有統計學、信息論和控制論，計算機視覺的數學工具有攝影幾何學、矩陣與張量和模型估計。20 世紀70 年代以來，人工智能與空間技術、能源技術同被視作三大尖端技術。過去的半個世紀，人工智能得到飛速發展，在很多領域獲得廣泛應用，成果卓著，如今它又與基因工程、納米科學同被視作21 世紀的三大尖端技術。 
人工智能並非人類智能，但能像人類那樣思考，也有可能超過人類智能。1997 年，美國IBM公司研制的“ 深藍”（Deep Blue）戰勝了阿塞拜疆出生的俄羅斯國際像棋大師卡斯帕羅夫（G. Kasparov，1963—）。2016 年和2017 年， 谷歌旗下 
的人工智能公司DeepMind研制的“阿爾法狗”（AlphaGo）又擊敗了兩位圍棋世界冠軍——韓國的李世石（1983—）和中國的柯潔（1997—）。這方面的進步得益於雲計算、大數據、神經網絡技術的發展和摩爾定律。目前，人工智能在邏輯推理方面可以說已超越人類，但是在認知情感、決策等領域能做的事情仍十分有限。專家認為，人工智能所面臨的更多是數學問題，還沒有像克隆技術那樣發展到需要進行倫理討論的階段。