走進吳正憲“好喫又有營養”的數學課堂，
教你將兒童與數學完美結合

◎《跟吳正憲學教數學（1）》精選數學名師吳正憲老師近年來經典的16個課例，突出了她的“兒童觀”， 體現了讓孩子們獲得“好喫又有營養”的數學教育。
◎以紀實的方式還原了課堂現場，兼具一線教師的細致分析和專家的深刻點評，畫面可想像，理念可落實，行為可模仿，設計可借鋻，活動可操作，策略可遷移。

推薦篇目:
會說話的“圈圈”——《重疊問題》課例 P65
有意思又有意義的平均數——《平均數》課例 P135
“淺入深出”讓“比”平易近人——《比的認識》課例 P195

為滿足眾多教師對吳正憲老師課堂教學的學習願望，《跟吳正憲學教數學（1）》選取了近年來吳老師經典的 16個課例，並從一線教師的角度對教學實錄進行了分析，同時分享了令人印像深刻的課堂花絮，並且邀請專家進行了點評，以深刻挖掘吳老師課堂的教育價值。

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她告訴青年老師，優秀老師是摔打出來的，我們可以失敗，可以後悔，可以重新再來，我們不可以的就是“放棄”！為了理想努力拼搏，心在遠方而路在腳下。
——北京市朝陽區星河實驗小學校長 馬芯蘭

序言1 她是一位“四好老師”/顧明遠// 1
序言2 一個有故事的教育家/陶西平// 3
序言3 我的摯友——正憲/馬芯蘭// 5
前言 走進吳老師“好喫又有營養”的數學課堂// 9
1在生活中尋找數學——《平移與旋轉》課例// 1
2在遊戲中理解“倍”——《倍的認識》課例// 12
3畫出來的“關繫”——《解決問題》課例// 25
4從自己提出的問題開始——《估算》課例// 39
5給學生自主的時間與空間——《分數的初步認識》課例// 55
6會說話的“圈圈”——《重疊問題》課例// 65
7溯本求源，體會“度量”——《面積的認識》課例// 77
8“刷”出來的乘法原理——《搭配中的學問》課例// 92
9自主構建數學模型——《乘法分配律》課例// 105
10細化單位，精準表達——《小數的意義》課例// 117
11有意思又有意義的平均數——《平均數》課例// 135
12從課堂裡生長出來的“問題串”——《小數除法》課例// 154
13“符號意識”在這裡萌芽——《用字母表示數》課例// 172
14會講故事的方程——《方程的認識》課例// 185
15“淺入深出”讓“比”平易近人——《比的認識》課例// 195
16在“做數學”中創造——《圓的認識》課例// 209
後 記// 221

大膽探索， 追求卓越
——評吳正憲老師的《平均數》教學
近幾年連續聽了吳正憲老師幾節數學課，每次都有新的認識，引發對數學教學的進一步思考。吳老師的課有一個突出的特點：她總是不斷探索新的問題，總是思考小學數學教學中的重要話題，特別是對一些看似平常，但有重要意蘊的主題的探索。吳老師的《平均數》一課，不僅給我耳目一新的感覺，更引發我對小學數學課程教學改革的一些思考。
一、主題式教學的大膽探索
“平均數”作為統計領域的一個重要內容，教學中應突出其統計意義，這已經成為小學數學教學研究的共識。因此，這一內容的教學重點必然從平均數的計算轉向平均數意義的理解，以及運用平均數的知識解決問題，體會平均數中統計思想的現實意義，培養學生的數學核心素養。如何實現這一轉變，如何在教學中使學生真正經歷和體驗平均數的統計意義，培養學生的數據分析觀念？吳老師在這節課中對此進行了大膽的有意義的探索。
所謂主題式教學設計是以真實的問題為背景，以解決問題為目標，在問題解決的過程中，學習和運用相關的知識與方法。吳老師這節課，在一定的準備之後，提出了“六歲兒童免票的標準身高”的真實問題，並且後面的教學都圍繞這個問題的解決展開。
某市原執行的六歲以下兒童乘車免票的標準是“1.1米”，需要修改。假如你是該部門領導，你打算怎麼做？
真實的問題激發了學生的探究欲望，使學生感到要解決這個問題可能會用到不同的知識與方法，其中包括平均數的知識。但在這個問題情境中又沒有直接提出求平均數，不能直接用平均數的知識與方法解決問題。面對這樣的問題情境，一些學生躍躍欲試，一些學生陷入沉思。吳老師適時地為學生留出充分思考與交流的機會：
“不急，先獨立思考，想好了就和同桌商量商量。”然後同學們開始討論，吳老師行間巡視，參與討論。
一句簡單的“不急”，使學生的心平靜了下來。而“假如你是該部門領導，你打算怎麼做？”又使學生感受到這個問題的意義重大，不能隨意行事，責任感油然而生。
真實的問題為學生提供想像和探索的空間。面對這樣的問題情境，學生有各種各樣的想法，可以暴露出不同的解決問題思路。
生：我覺得應該看年齡決定是不是免票。（很自然的想法，但不現實）
師：那我們上車都拿著戶口本嗎？
生：我們感覺差不多6歲的孩子能長到1.3米就算夠高的了，所以就定1.3米了。（主觀的想法，拍腦袋產生的）
師：（作出很無奈的樣子）領導啊，你們一拍腦袋就定1.3米啦？僅憑感覺這樣也太隨意了吧？其他同學有問題嗎？
生：你們小組又沒調查，怎麼定的1.3米？
師：什麼？“調查”是什麼意思？能說說你們的意見嗎？
生：先得調查調查6歲兒童到底長多高啊！
師：我聽出來了，一種意見是憑感覺就定1.3米以下免票，另外一種是先調查。要想知道6歲兒童的身高是多少，怎樣調查呢？
生：把某市所有6歲兒童的身高都測量出來，再求出平均身高……
上面的片段反映了學生真實的想法。每一種想法都有一定的道理，蘊含著解決問題的價值與方法。討論的結果集中在“要解決這個問題，首先需要進行調查”。到這裡慢慢進入這節課要學習的主題，要調查就要進行數據的搜集與整理，這正是統計的基本要素。這自然會與平均數建立起聯繫。對此，人們可能會問：繞了這樣一個大圈纔進入這節課所要學習的主題，是不是有些慢，沒有教學效率？但這正是主題學習的一個基本的邏輯，面對真實的具體的問題，用什麼方法來解決這個問題，不是一開始就非常清楚的，需要對問題進行仔細的分析，剝絲抽繭式地深入到解決問題的本質，進而尋找解決問題的方法。這時候學生纔能真正體會到平均數學習的實際價值。
現實的主題為學生提供進一步探究的空間。在對具體情境的探究過程中，還產生了許多超出小學階段平均數學習範圍的結果，如對樣本和隨機的體驗，這是與平均數有關繫的重要的統計知識，一般在小學的平均數學習時不會涉及，但在這節課的討論中自然地引出這樣的問題。雖不會深入研究，但在學生的意識中會產生進一步探索的種子。對決策和預測等問題的探究，在這節課中也花了一些時間討論，這樣的問題對於小學生來講似乎有點難，也超出了平均數學習的範圍，然而在這個情境中，引出這一問題的探究是自然的，也是必要的。這也是主題式學習的綜合性和開放性特征的反映。對於這些問題的探究都為學生學習數學，乃至學習其他知識作了鋪墊。
二、兒童數學教育的充分體現
吳老師主張“為學生提供好喫又有營養的數學”，這種為了兒童的數學觀也是其數學教育的核心。本節課的設計與實施充分體現了這樣的數學教育觀。
第一，充分考慮兒童現有的知識基礎和發展水平。平均數對於學生來說並不是全新的內容，在學生的經驗中經常使用平均數。學生考試的平均成績就是學生熟悉的情境。借助考試平均分這個情境，學生了解“所有人的分數加起來再除以全班的人數就是平均分”，如果這次考試的平均分是92分的話，對於全班學生而言，一些學生的分數高於92分，一些學生的分數低於92分。低於92分的學生給班級的成績拉分了。92分反映了班級成績的整體情況，具有代表性。借助這樣的例子討論平均數，學生感到平均數就在自己的身邊。
第二，引起學習過程中的認知衝突。圍繞如何確定“免費乘車兒童身高標準”這一現實問題，不能直接運用所學的知識和方法解決。這至少在兩個方面引起學生學習的認知衝突。一是沒有具體清晰的條件和問題，甚至所解決的問題看起來還不是一個明確的數學問題。這與以往學生對於數學問題的認知是不一致的。學生習慣於解決已知條件是什麼，所求問題是什麼，用什麼樣的方法把條件和問題建立起聯繫。二是當確定通過調查找出平均身高的方法解決問題時，學生面臨的問題與以往學習的平均數問題的方法也產生了認知衝突。平均數=總數量/總份數。現在的問題中有多少個人也不知道，更談不上求總數量了。與學生熟悉的、數學化了的平均數問題不同，在這裡，解決平均數的問題，不是簡單地先求一組數的和，再除以這組數的個數，而是先找到這一組數是什麼，然後纔能想辦法求出平均數。
面對這樣的問題，需要進行開放的、有深度的思考與交流。上面的教學片段解決了第一個認知衝突，把問題聚集在調查平均身高上。接下來解決如何求平均身高的問題。
師：你們有什麼好的建議嗎？
生：可以在網上搜集。
師：（微笑）你的信息素養還挺高，上網搜集是個辦法。還有什麼別的建議嗎？
生：可以先找來一些小朋友，量一量他們的身高，再根據這些數算出平均身高。
……
師：剛纔我們在交流中經歷了：隨意定標準，不行；需要調查研究，統計全部數據，太麻煩；挑幾個代表，到底選多少個代表合適呢？統計這事還真得講究呢。選代表，這主意挺好。
生：選代表也不準確，如果選的都是個子矮的或者都是個子高的，就不行了。
師：你的意思是選代表的時候，不能刻意挑選，會影響數據的客觀性，所以要隨機選代表。
生：嗯。
師：你們知道隨機是什麼意思？
生：就是隨便選，不自己挑。
師：對，就是這個意思。把隨機選的代表的身高進行統計，再算出這些人的平均身高，基本上就能夠代表全市6歲兒童的平均身高了。到底選多少代表合適，統計學上也是有講究的，等你們長大了，隨著知識的增加就會理解了。
生：選代表靠譜嗎？
師：媽媽做湯時要想知道咸不咸，怎麼辦呢？
生：用小勺盛一點兒，嘗一嘗就知道了。
師：對呀，媽媽不用把一鍋的湯都喝了纔知道味道吧？這也是選擇其中的一部分來說明整體啊。（學生們都會意地笑了）
師：下面咱們就模擬一次有關部門處理這些數據的過程。 假如此次調查選擇了8000位代表。你們準備怎麼辦？
生：把這些數都加起來，再除以8000。
師：如果平均身高就是120釐米，我們的免費標準就是……
生：120釐米。
（接下來的討論定標準、作決策）
以上教學片段涉及幾個與統計有關的概念：樣本、隨機，數據的搜集、整理，求平均數。平均數的計算在這裡似乎淡化了，但統計的味道更濃了。學生在不斷地解決認知衝突的過程中，深入地思考與探究，經歷了數據分析的過程，平均數的重要意義也突顯出來。
三、三版平均數教學的啟示
據吳老師說，這節《平均數》的設計是她的第三版平均數教學。為什麼一個看似簡單的平均數問題要設計出三版呢？三版平均數教學給我們什麼啟示呢？第一版平均數教學追求的是如何理解平均數的意義，如何掌握計算平均數的方法，基本上是以知識與能力為重心的教學設計。第二版平均數教學是在課程改革背景下的教學設計，試圖通過學生的實際操作，體現平均數的統計意義，教學中體現數據的搜集、整理、呈現的過程。那麼第三版的特點是什麼呢？為什麼要有第三版平均數教學呢？從這節課的設計與實施過程中我們似乎可以找到答案。
首先，是對小學數學核心內容的深度探究。平均數是小學數學的核心內容，是反映數學學科本質的內容，是體現數學思想，有助於發展學生數學核心素養的內容。隨著課程改革的深入，平均數的學習也不斷被賦予新的內涵。對數學學科本質的理解，對學生數學學習特征的解讀，以及數學教學目標的拓展與提升都會對這一內容的教學提出新的要求。小學數學的核心內容的深度探究是解決一類教學問題的需要。
第二，為學生發展提供更廣闊的空間。平均數作為重要的統計量與現實問題有密切聯繫。以真實的問題為研究主題，在解決真實問題的過程中，培養學生綜合運用所學知識解決問題的能力，使平均數不隻是孤立的單一的計算方法，將其融入綜合不同知識建立數學模型解決問題的視野中，真正體現平均數的價值。同時，為學生提供更開放的探究與思考的空間，會使學生的潛能得到更好的釋放，學生的核心素養得到更好的發展。
第三，在小學數學教學改革中追求卓越。吳老師在小學數學教學的研究中從不滿足，永不止步，不斷追求卓越。三版平均數的探索不是為了出新而出新，而是對以往教學設計的不斷反思與升華，是對這一主題教學不斷的有意義的探尋與提升。這也許是最重要的因素吧。
這一版的平均數教學設計也為我們提出一些值得進一步思考的問題，如樣本、隨機等概念在平均數中如何處理，平均數如何成為決策的依據等。
期待吳老師還有第四版平均數教學設計。
（東北師範大學 馬雲鵬）

課堂花絮
拍腦袋作決定，不行
還記得《平均數》一課中那個“一拍腦袋作決定的小領導”嗎？課上，在吳老師提出如何確定乘車免票標準問題中，他的回答是：“我們感覺差不多6歲的孩子能長到1.3米就算夠高的了，所以就定1.3米了。”而他在課後時總結說：“通過學習，我懂得了收集數據很重要，不能隻憑自己的感覺作決定，有了數據纔能定得更準確。”這樣樸實真切的語言，不禁讓我們對吳老師肅然起敬，在短短40分鐘的時間裡，她讓孩子發生了可喜的變化。
（首都師範大學附屬順義實驗小學 陳麗華）

走進吳老師“好喫又有營養”的數學課堂
經常有老師問：“怎麼纔能像吳正憲老師一樣，創造出學生喜愛的數學課堂呢？”作為吳正憲小學數學教師團隊的成員，多年來我們也帶著這樣的疑問，一直在研究吳老師“好喫又有營養”的課堂，尋求吳老師課堂的魅力所在。
一、吳老師的課堂充滿“兒童味”
吳老師心中有兒童，她說激發興趣是引導兒童學習數學的第一要務。
她的課堂“教”的色彩很淡，“商量”的氣氛很濃，“為什麼”很多，留給兒童的“空間”很大，交流互動成為常態；她的課堂讓每個兒童都有機會表達自己的想法，“多樣的想法”層出不窮，或對或錯都會受到保護；她的課堂以“情景問題”為學習的載體，數學活動貫穿始終，每一位兒童的潛能都能得到發揮；她的課堂隻有尊重，沒有歧視，每一位兒童都能看到自己前行的希望，每一位兒童都有重新躍起的機會。這樣的課堂容易使人產生親切感，這樣的課堂充滿童趣，兒童會動心、動情，從而擁有自信。
二、吳老師的課堂充滿“生活味”
吳老師善於從兒童的生活經驗出發，將數學活動置於真實的生活背景中，幫助兒童架設“知識世界”和“生活世界”的橋梁，重建兒童的生活世界。課程規定的數學知識，對兒童來說並不是“全新的”，在一定程度上是一種“舊知識”。在她的課堂上，數學不再是冷冰冰的知識，兒童會產生學習的需要，自覺進入學習狀態。她善於引導兒童對生活中的“數學現像”進行“重新解讀”，激活兒童原有的經驗，將數學抽像的內容附著在現實的背景中，把無聲的“數學文本”演繹成鮮活的“生活文本”，使兒童在數學課堂上享受精彩紛呈的生活數學，感受知識的產生和發展過程，發現和得出結論並逐步學會數學地思考。吳老師善於培養兒童用數學的眼光觀察生活的習慣和意識，同時又引導兒童把學到的數學知識運用到解決生活實際問題中去，體驗數學在實際生活中的價值，從而更加熱愛數學學習。
三、吳老師的課堂充滿“智慧味”
吳老師善於用哲學的視角審視數學教學，引導學生溝通知識間的內在聯繫，將知識連成知識鏈，構建成知識網，形成脈絡清晰的、立體的知識模塊，在不斷完善學生的認知結構的同時，讓學生獲得認識事物的普遍方法。她關注兒童的思維發展，努力創造以問題為核心的活動，引導兒童在活動中積累經驗，提升觀察、猜測、驗證、推理及概括的能力。她善於制造、把握和激發學生認識的矛盾，讓兒童的思維在跌宕中升華，在解決矛盾的過程中感受智力活動的快樂。她不是簡單告訴兒童真理，而是引導兒童探求真理。數學教學不僅要讓兒童知道結論，更要帶著兒童追本溯源去尋根，去追問數學的本質，讓兒童看到顯性知識背後的思想和方法。
四、吳老師的課堂充滿“人情味”
吳老師用真情詮釋每一節課，用愛心喚醒學生的情感，讓課堂因為情感而溫暖，讓兒童感受到學習的過程即是生命成長的歷程。教師不僅要傳授知識，更要孕育情感，和兒童一起經歷生命成長的過程。她不僅滿足兒童求知的需要，更滿足兒童心理與生理發展的需求，在“自主探究，合作學習，體驗學習”中使兒童體驗到數學的魅力和數學在生活中的重要價值。她善於捕捉並用專業的智慧巧妙地處理課堂資源，把兒童的探索引向深入，使課堂呈現出靈動的生命狀態，流淌著溫暖和情義。
吳老師經常說：好課不是說出來的，不是靠觀課模仿出來的，好課一定是從心靈深處流淌出來的，好教師一定是在長期的教育教學實踐中摸爬滾打歷練出來的。吳老師創造了一節又一節兒童喜愛的課堂，聽著吳老師與兒童風趣幽默的對話，看著師生時而微笑、時而思考的表情，感受著課堂輕松愉悅的氛圍……我們知道這纔是大家心中期待的兒童課堂。
為滿足眾多教師對吳正憲老師課堂教學的學習願望，我們選取了近年來吳老師經典的16個課例，並從一線教師的角度對教學實錄進行了分析，同時分享讓我們印像深刻的課堂花絮。為能深刻挖掘吳老師課堂的教育價值，我們還邀請專家進行了點評。在整理期間多次得到吳正憲老師的指導，在此向吳老師及各位專家表達我們深深的謝意。
由於水平有限，不能完全呈現吳老師課堂的原貌，不妥之處請讀者批評指正。希望吳正憲老師原汁原味的課堂，引發廣大一線教師對兒童的再思考，對課堂教學的再思考，對數學教育價值的再思考，對數學本質的再思考。期待每位老師都能努力創造出兒童喜愛的數學課堂，感受做一名數學教師的幸福。
武維民 張秋爽