《黎曼幾何引論(上)》可供綜合大學、師範院校數學繫、物理繫學生和研究生作用教材，並且可供數學工作者參與。“黎曼幾何引論”課是基礎數學專業研究生的基礎課。從1954年黎曼首次提出黎曼幾何的概念以來，黎曼幾何學經歷了從局部理論到大範圍理論的發展過程。現在，黎曼幾何學已經成為廣泛地用於數學、物理的各個分支學科的基本理論。《黎曼幾何引論(上)》上冊是“黎曼幾何引論”課的教材，前四章是黎曼幾何的基礎；第五與第六章介紹黎曼幾何的變分方法，是大範圍黎曼幾何學的初步；第七章介紹黎曼幾何子流形的理論。每章末都附有大量的習題，書末並附有習題答案和提示，便於讀者深入學習和自學。

陳維桓，北京大學數學科學學院教授，博士生導師。1964年畢業於北京大學數學力學繫，後師從吳光磊先生讀研究生。長期從事微分幾何方向的研究工作和教學工作，開設的課程有“微分幾何”、“微分流形”、“黎曼幾何引論”和“纖維叢的微分幾何”等。已出版的著作有：《微分幾何講義》（與陳省身合著），《黎曼幾何選講》（與伍鴻熙合著），《微分幾何初步》，《微分流形初步》和《極小曲畫》等。

緒論
第一章 微分流形
1.1 微分流形
1.2 光滑映射
1.3 切向量和切空間
1.4 單位分解定理
1.5 光滑切向量場
1.6 光滑張量場
1.7 外微分式
1.8 外微分式和積分和Stokes定理
1.9 切叢和向量叢
習題一

第二章 黎曼流形
2.1 黎曼度量
2.2 黎曼流形的例子
2.3 切向量場的協變微分
2.4 聯絡和黎曼聯絡
2.5 黎曼流形上的微分算子
2.6 聯絡形式
2.7 平稱移動
2.8 向量叢上的聯絡
習題二

第三章 測地線
3.1 測地線的概念
3.2 指數映射
3.3 孤長的第一變分公式
3.4 Gauss引理和法坐標繫
3.5 測地凸領域
3.6 Hopf-rinow定理
習題三

第四章 曲率
4.1 曲率張量
4.2 曲率形式
4.3 截面曲率
4.4 Ricci曲率和數量曲率
習題二

第三章 測地線
3.1 測地線的概念
3.2 指數映射
3.3 弧長的第一變分公式
3.4 Gauss引理和法坐標繫
3.5 測地凸鄰域
3.6 Hopf-Rinow定理
習題三

第四章 曲率
4.1 曲率張量
4.2 曲率形式
4.3 截面曲率
4.4 Ricci曲率和數量曲率
4.5 Ricci恆等式
習題四

第五章 Jacobi場和共軛點
5.1 Jacobi場
5.2 共軛點
5.3 Cartan-Hadamard定理
5.4 Cartan等距定理
5.5 空間形式
習題五

第六章 弧長的第二變分公式
6.1 弧長的第二變分公式
6.2 Bonnet-Myers定理
6.3 Synge定理
6.4 基本指標引理
6.5 Rauch比較定理
習題六

第七章 黎曼流形的子流形
7.1 子流形的基本公式
7.2 子流形的基本方程
7.3 歐氏空間中的子流形
7.4 極小子流形
7.5 體積的第二變分公式
習題七
習題解答和提示
參考文獻
索引