張恭慶院士親自組織北大數學院教師團隊修訂本書，教材經多次集體會議討論和打磨，力求展現適應教學與科研新形勢的泛函分析教材。

●第一章 度量空間
§1 壓縮映射原理
§2 完備化
§3 列緊集
§4 賦範線性空間
4.1 線性空間
4.2 線性空間上的距離
4.3 範數與Banach空間
4.4 賦範線性空間上的範數等價
4.5 應用：很好逼近問題
4.6 有窮維B*空間的刻畫
4.7 商空間
§5 凸集與不動點
5.1 定義與基本性質
5.2 Brouwer 與Schauder不動點定理
5.3 應用
§6 內積空間
6.1 定義與基本性質
6.2 正交與正交基
6.3 正交化與Hilbert空間的同構
6.4 再論很好逼近問題
6.5 應用：最小二乘法
第二章 線性算子與線性泛函
§1 線性算子的概念
1.1 線性算子和線性泛函的定義
1.2 線性算子的連續性和有界性
§2 Riesz表示定理及其應用
§3 綱與開映射定理
3.1 綱與綱推理
3.2 開映射定理
3.3 閉圖像定理
3.4 共鳴定理
3.5 應用
§4 Hahn-Banach定理
4.1 線性泛函的延拓定理
4.2 幾何形式——凸集分離定理
4.3 應用
§5 共軛空間、弱收斂、自反空間
5.1 共軛空間的表示及應用
5.2 共軛算子
5.3 弱收斂及*弱收斂
5.4 弱列緊性與*弱列緊性
5.5 *弱收斂的例子
§6 線性算子的譜
6.1 定義與例
6.2 Gelfand定理
6.3 例子
第三章 緊算子與Fredholm算子
§1 緊算子的定義和基本性質
§2 Riesz-Fredholm理論
§3 緊算子的譜理論
3.1 緊算子的譜
3.2 不變子空間
3.3* 緊算子的結構
§4 Hilbert-Schmidt定理
§5 對橢圓型方程的應用
§6 Fredholm算子
第四章 廣義函數與Sobolev空間
§1 廣義函數的概念
1.1 基本空間D(Ω)
1.2 廣義函數的定義和基本性質
1.3 廣義函數的收斂性
§2 B0空間
§3 廣義函數的運算
3.1 廣義微商
3.2 廣義函數的乘法
3.3 平移算子與反射算子
§4 l'上的Fourier變換
§5 Sobolev空間與嵌入定理
習題補充提示
索引

本書是兩冊泛函分析教材中的上冊，繫統地介紹了線性泛函分析的基礎知識。全書共分四章：度量空間、線性算子與線性泛函、緊算子與Fredholm算子，以及廣義函數與Sobolev空間。本書的主要特點是側重於分析若干基本概念和重要理論的來源和背景，強調培養讀者運用泛函方法解決問題的能力，注意介紹泛函分析理論與數學其他分支的聯繫。書中包含豐富的例子與應用，對於掌握基礎理論有很大幫助。本書第二版對內容做了一定調整，如加強了對於弱收斂的介紹，將原來的緊算子與Fredholm算子一章提前等，並優化了部分證明，以更好地適應教學與科研的新形勢。本書適於用作數學專業本科生與研究生的教材，且可供其他理工科專業師生，以及數學、物理領域科研人員和工程技術人員參考。 為幫助讀者更好地掌握泛函分析的基本內容以及解題的思路與方法，本書有配套的學習輔導書《泛函分析學習指南》（北京大學出版社），供讀者選用。