●第一章線性空間與內積空間1
1.1預備知識:集合、映射與數域1
1.1.1集合及其運算1
1.1關繫與等價關繫2
1.1.3映射3
1.1.4數域與代數運算6
1.2線性空間7
1.2.1線性空間及其基本性質7
1.2.2向量的線性相關性9
1.2.3線性空間的維數12
1.3基與坐標13
1.4線性子空間17
1.4.1線性子空間的概念17
1.4.2子空間的交與和20
1.4.3子空間的直和23
1.5線性空間的同構24
1.6內積空間27
1.6.1內積空間及其基本性質27
1.6.2標準正交基與Gram-Schmidt正交化方法32
1.6.3正交補與投影定理35
習題41
第二章線性映射與線性變換45
2.1線性映射及其矩陣表示45
2.1.1線性映射的定義及其性質45
2.1.2線性映射的運算48
2.1.3線性映射的矩陣表示50
2.2線性映射的值域與核55
2.3線性變換57
2.4特征值和特征向量60
2.5矩陣的相似對角形68
2.6線性變換的不變子空間70
2.7酉(正交)變換與酉(正交)矩陣75
習題77
第三章λ矩陣與矩陣的Jordan標準形82
3多項式82
3.2λ矩陣及其在相抵下的標準形85
3.2.1λ矩陣的基本概念85
3.2.2λ矩陣的初等變換與相抵87
3.2.3λ矩陣在相抵下的標準形89
3.3λ矩陣的行列式因子和初等因子93
3.4矩陣相似的條件102
3.5矩陣的Jordan標準形104
3.6Cayley-Hamilton定理與最小多項式110
習題114
第四章矩陣的因子分解117
4.1初等矩陣117
4.1.1初等矩陣117
4.1.2初等下三角矩陣118
4.1.3Householder矩陣119
4.2滿秩分解120
4.3三角分解125
4.4QR分解130
4.5Schur定理與正規矩陣133
4.6奇異值分解139
習題142
第五章Hermite矩陣與正定矩陣146
5.1Hermite矩陣與Hermite二次型146
5.1.1Hermite矩陣146
5.1.2矩陣的慣性147
5.1.3Hermite二次型149
5.2Hermite正定(非負定)矩陣151
5.3矩陣不等式159
5.4Hermite矩陣的特征值162
習題166
第六章範數與極限169
6.1向量範數169
6.2矩陣範數175
6.2.1基本概念175
6.2.2相容矩陣範數176
6.2.3算子範數177
6.3矩陣序列與矩陣級數182
6.3.1矩陣序列的極限183
6.3.2矩陣級數185
6.4矩陣擾動分析189
6.4.1矩陣逆的擾動分析190
6.4.2線性方程組解的擾動分析192
6.4.3矩陣特征值的擾動分析*193
習題198
第七章矩陣函數與矩陣值函數201
7.1矩陣函數201
7.1.1矩陣函數的冪級數表示201
7.1.2矩陣函數的另一種定義206
7.2矩陣值函數210
7.2.1矩陣值函數211
7.2.2矩陣值函數的分析運算212
7.3矩陣值函數在微分方程組中的應用217
7.4特征對的靈敏度分析*222
習題230
第八章廣義逆矩陣233
8.1廣義逆矩陣的概念233
8.2廣義逆矩陣A與線性方程組的解234
8.3極小範數廣義逆Am與線性方程組的極小範數解236
8.4最小二乘廣義逆Al與矛盾方程組的最小二乘解239
8.5廣義逆矩陣A+與線性方程組的極小最小二乘解242
習題246
第九章Kronecker積與線性矩陣方程248
9.1矩陣的Kronecker積248
9.2矩陣的拉直與線性矩陣方程252
9.2.1矩陣的拉直252
9.2.2線性矩陣方程253
9.3矩陣方程AXB=C與矩陣很好逼近問題254
9.3.1矩陣方程AXB=C254
9.3.2帶約束的矩陣很好逼近問題256
9.4矩陣方程AX=B的Hermite解與矩陣很好逼近問題*258
9.5矩陣方程AX+XB=C和X—AXB=C*262
9.5.1矩陣方程AX+XB=C262
9.5.2矩陣方程X—AXB=C263
習題264
第十章非負矩陣*266
10.1肖巨負矩陣與正矩陣266
10.2素矩陣與不可約非負矩陣274
10.2.1素矩陣274
10.2.2不可約非負矩陣276
10.3隨機矩陣278
10.4M矩陣282
習題287
參考文獻289
