方法獨特，講解精闢；舉一反三，學練結合；一線教學名師多年經驗總結；告別題海戰術，滿分輕松得

\"本書源於全國卷網高考研究中心和全國名校名師多年教輔經驗的沉澱與解法的提煉，針對全國卷高考數學內容應試場景和滿分戰略進行了深入研究與科學的梳理，側重體現知識點的繫統性與邏輯性以及為達到滿分的知識擴充和解題標準.全書按照全國卷數列與不等式考題方向分為六章，覆蓋了全國卷高考等差數列、等比數列和數列求和、遞推數列與高階等差數列、數列的性質與數列模型、不等式基礎知識、重要不等式、數列與不等式的綜合問題.本書部分例題和變式題講解等配套資源請到全國卷網下載. 本書適合高中二、三年級的學生學習使用，也可作為高中數學老師的參考用書. \"

\"張瑞炳 高級教師，畢業於華東師範大學，20餘年一線教學經驗，廈門雙十中學數學教研組長，中國數學奧林匹克高級教練員，中國數學奧林匹克希望聯盟總教練，福建省教育學會數學教學委員會理事，集美大學客座教授，廈門市專家型教師。曾被評為福建省優秀教師、廈門市傑出教師。曾獲廈門市課堂教學改革創新大賽一等獎，福建省中學青年數學教師說課比賽一等獎。指導學生多人次獲CMO金牌、銀牌和銅牌。10多次參加福建省高三畢業班數學科質檢命題，開設省、市級講座與公開課20多場。編寫5本高考數學《百題大過關》，目前是第9版。高慧明 首屆全國十佳班主任，北京市高中數學特級教師，現任教於北京市第十二中學高中部。全國著名高考數學命題與考試研究專家，參與制定國家、省級課程繫列教材及考試指導文件，在《教育研究》《中國教育學刊》《數學通報》《中學數學教學參考》等全國知名學術期刊發表論文500餘篇，已出版《給學生一個心靈的支點——高慧明班級高效管理藝術》《讓高中生學會學習》《高考數學命題規律與教學策略》《高中數學思想方法及應用》等圖書。國家教育部“國培計劃”全國中小學校長、班主任、教師培訓特邀主講專家。講課、講座、報告專題涉及課堂教學、科學備考、班級管理、教師專業成長等方面，在全國引起強烈反響。 周韡，清華大學校友，北京大學光華管理學院MBA，中國數學會北京分會會員，中國教育學會會員，中國計算機學會會員，奧賽教練。曾受衡水中學、衡水二中、會寧二中等多所中學邀請講學。現為全國卷網創始人，項目得到了清華大學經管學院XLAB和加速器四期培育。全國卷網由北大清華校友創辦，是研究全國卷新高考的專業機構，並在網絡上開闢了沒有圍牆的在線大學，也為900萬考生提供高考與自招資訊和解決方案。\"

目錄

第1章等差數列、等比數列與數列求和

1.1等差數列

1.1.1等差數列的基礎知識

1.1.2等差數列的性質

1.1.3範例解析

1.2等比數列

1.2.1等比數列的基礎知識

1.2.2等比數列的性質

1.2.3範例解析

1.3數列求和

1.3.1數列求和的基礎知識

1.3.2數列求和的常用方法

1.3.3範例解析

第2章遞推數列與高階等差數列

2.1數列的通項

2.1.1通項公式的定義

2.1.2研究遞推數列的通項公式的常用方法

2.1.3範例解析

2.2遞推方法

2.2.1遞推方法的定義

2.2.2運用遞推方法的幾種形式

2.2.3範例解析

2.3數列的差分與高階等差數列

2.3.1數列的差分及其性質

2.3.2高階等差數列及其性質

2.3.3範例解析

第3章數列的性質與數列模型

3.1數列的單調性

3.1.1數列單調性的定義

3.1.2數列單調性的證明方法

3.1.3範例解析

3.2數列的周期性

3.2.1周期數列的概念

3.2.2關於周期數列的重要性質與結論

3.2.3範例解析

3.3數列模型及其應用

3.3.1數列模型與數學建模

3.3.2數列模型典型實例

第4章不等式基礎知識

4.1證明不等式的基本方法（一）

4.1.1比較法

4.1.2綜合法與分析法

4.1.3範例解析

4.2證明不等式的基本方法（二）

4.2.1反證法

4.2.2放縮法

4.2.3範例解析

4.3不等式的解法

4.3.1解不等式的基本思路

4.3.2不等式的性質

4.3.3範例解析

第5章重要不等式

5.1平均值不等式

5.1.1知識要點

5.1.2範例解析

5.2柯西不等式

5.2.1知識要點

5.2.2範例解析

5.3排序不等式與琴生不等式

5.3.1知識要點

5.3.2範例解析

第6章數列與不等式的綜合問題

6.1數列不等式的證明

6.1.1內容概要

6.1.2範例解析

6.2點列問題

6.2.1知識要點

6.2.2範例解析

6.3分組數列及其應用

6.3.1知識要點

6.3.2範例解析

第5章重要不等式 數學中有許多**的不等式，本章將介紹各種考試中常用的重要不等式及其應用. 5.1平均值不等式 5.1.1知識要點 設a1，a2，…，an是n個正實數，記作 Hn=n1a1+1a2+…+1an，Gn=na1a2…an， An=a1+a2+…+ann，Qn=a21+a22+…+a2nn. 分別稱Hn，Gn，An，Qn為這n個正數的調和平均、幾何平均、算術平均和平方平均. 這四個平均值有如下關繫： Hn≤Gn≤An≤Qn， 等號當且僅當a1=a2=…=an時成立. 證明： (1) 先證An≥Gn，用數學歸納法證明. 當n=1時，a1=a1，不等式成立. 當n=2時，由 a1+a22-a1a2=(a1-a2)22≥0， 得 a1+a22≥a1a2. 不等式成立. 假設n=k(k≥2，k∈N)時不等式成立，則當n=k+1時， Ak+1=a1+a2+…+ak+ak+1k+1 =a1+a2+…+ak+1+(k-1)Ak+12k =12a1+a2+…+akk+ak+1+Ak+1+…+Ak+1(k-1)個k ≥12ka1a2…ak+kak+1Ak-1k+1 ≥ka1a2…ak·kak+1Ak-1k+1. 從而 A2kk+1≥a1a2…akak+1Ak-1k+1， 化簡得 Ak+1≥k+1a1a2…akak+1. 當且僅當a1=a2=…=ak=ak+1=Ak+1時，不等式取等號. (2) 由An≥Gn，得 1a1+1a2+…+1an≥nn1a1a2…an=nGn， 即 Gn≥n1a1+1a2+…+1an=Hn. (3) Qn≥Ann(a21+a22+…+a2n)-(a1+a2+…+an)2≥0 而上式左邊=(a1-a2)2+(a1-a3)2+…+(a1-an)2+(a2-a3)2+…+(a2-an)2+…+(an-1-an)2≥0，當且僅當a1=a2=…=an時，等式成立. 綜上得，Hn≤Gn≤An≤Qn，等號當且僅當a1=a2=…=an時等式成立. 5.1.2範例解析 【例1】已知a，b，c為正數，求證： (a+1)3b+(b+1)3c+(c+1)3a≥814. 證明： 因為a>0，b>0，c>0，所以 左式≥3(a+1)(b+1)(c+1)3abc =3a+12+12b+12+12c+12+123abc ≥333a4·33b4·33c43abc =814. 評注： 通過平均值不等式能夠實現“和”與“積”的轉化，同時起到降冪的作用. 【變式1】正數x，y，z滿足xyz=1，求證： x2+y2+z2+xy+yz+zx≥2(x+y+z). 【變式2】設a>b>0，求證： 2a3+3ab-b2≥10. 【變式3】設x>0，y>0，求證： 2x+y3·x+2y32≥xy·x+y23. 【變式4】證明： 數列1+1nn是單調遞增的. 【變式5】已知x>0，y>0，z>0，x+y+z=1，求證： x3+y3+z3≥19. 【例2】設a>0，b>0，c>0，求證： a2b+b2c+c2a≥a+b+c. 證明： 因為a>0，b>0，c>0，所以 a2b+b≥2a2b·b=2a.① 同理 b2c+c≥2b，② c2a+a≥2c.③ ①②③式左右分別相加，得 a2b+b2c+c2a≥a+b+c. 評注： 本題可以推廣到n元不等式，即設x1，x2，…，xn都是正數，求證： x21x2+x22x3+…+x2n-1xn+x2nx1≥x1+x2+…+xn. 【變式1】已知a>0，b>0，c>0，求證： 2aba+b+bcb+c+cac+a≤a+b+c. 【變式2】已知a>0，b>0，c>0，求證： abc≥(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b). 【變式3】設a>0，b>0，c>0，求證： ca+ab+c+bc≥2. 【變式4】已知正實數a，b，c滿足a+b+c=1.求證： a2+b2+c2+23abc≤1. 【例3】求函數y=(x-1)5(10x-6)9在x>1時的*大值. 解法一： 因為x>1，所以 y=125×(2x-2)5(10x-6)9 =125×2x-210x-65110x-64 ≤1255×2x-210x-6+410x-6999 =12599. 當且僅當2x-210x-6=110x-6，即x=32時y取*大值，且*大值為12595.