了得網科普讀物_第一推動叢書(25周年紀念版共49冊)

再版序一個墜落蘋果的兩面：**智慧與**想像龔曙光 2017年9月8日凌晨於抱樸廬連我們自己也很驚訝，《**推動叢書》已經出了25年。
或許，因為全神貫注於每一本書的編輯和出版細節，反倒忽視了這套叢書的出版歷程，忽視了自己頭上的黑發漸染霜雪，忽視了團隊編輯的老退新替，忽視好些早年的讀者，已經成長為多個領域的棟梁。
對於一套叢書的出版而言，25年的確是一段不短的歷程；對於科學研究的進程而言，四分之一個世紀*是一部跨越式的歷史。古人“洞中方七日，世上已千秋”的時間感，用來形容人類科學探求的速律，倒也恰當和準確。回頭看看我們逐年出版的這些科普著作，許多當年的假設已經被證實，也有一些結論被證偽；許多當年的理論已經被孵化，也有一些發明被淘汰 …… 無論這些著作闡釋的學科和學說，屬於以上所說的哪種狀況，都本質地呈現了科學探索的旨趣與真相：科學永遠是一個求真的過程，所謂的真理，都隻是這一過程中的階段性成果。論證被想像訕笑，結論被假設挑釁，人類以其*優越的物種秉賦 ——智慧，讓銳利無比的理性之刃，和絢爛無比的想像之花相克相生，相否相成。在形形色色的生活中，似乎沒有哪一個領域如同科學探索一樣，既是一次次偉大的理性歷險，又是一次次**的感性審美。科學家們窮其畢生所奉獻的，不僅僅是我們無法發現的科學結論，還是我們無法展開的絢麗想像。在我們難以感知的極小與極大世界中，沒有他們記歷這些偉大歷險和**審美的科普著作，我們不但永遠無法洞悉我們賴以生存世界的各種奧秘，無法領略我們難以抵達世界的各種美麗，*無法認知人類在找到真理和遭遇美景時的心路歷程。在這個意義上，科普是人類**智慧和**審美的結晶，是物種**的精神文本，是人類任何其他創造 ——神學、哲學、文學和藝術無法替代的文明載體。
在神學家給出“我是誰”的結論後，整個人類，不僅僅是科學家，包括庸常生活中的我們，都企圖突破宗教教義的鐵窗，自由探求世界的本質。於是，時間、物質和本源，成為了人類共同的**探尋之地，成為了人類突破慵懶、掙脫瑣碎、拒*因襲的歷險之旅。這一旅程中，**著我們艱難而快樂前行的，是那一代又一代*偉大的科學家。他們是**的智者和**的幻想家，是真理的先知和審美的天使。
我曾有幸采訪《時間簡史》的作者史蒂芬？霍金，他痛苦地斜躺在輪椅上，用特制的語音器和我交談。聆聽著由他按擊出的極其單調的金屬般的音符，我確信，那個隻留下萎縮的軀干和遊絲一般生命氣息的智者就是先知，就是上帝遣派給人類的孤獨使者。倘若不是親眼所見，你根本無法相信，那些深奧到**而又淺白到**，簡練到**而又美麗到**的天書，竟是他蜷縮在輪椅上，用**能夠動彈的手指，一個語音一個語音按擊出來的。如果不是為了引導人類，你想像不出他人生此行還能有其他的目的。
無怪《時間簡史》如此暢銷！自出版始，每年都在中文圖書的暢銷榜上。其實何止《時間簡史》，霍金的其他著作，《**推動叢書》所遴選的其他作者著作，25年來都在**。據此我們相信，這些著作不僅屬於某一代人，甚至不僅屬於20世紀。隻要人類仍在為時間、物質乃至本源的命題所困擾，隻要人類仍在為求真與審美的本能所驅再版序一個墜落蘋果的兩面：**智慧與**想像龔曙光 2017年9月8日凌晨於抱樸廬連我們自己也很驚訝，《**推動叢書》已經出了25年。
或許，因為全神貫注於每一本書的編輯和出版細節，反倒忽視了這套叢書的出版歷程，忽視了自己頭上的黑發漸染霜雪，忽視了團隊編輯的老退新替，忽視好些早年的讀者，已經成長為多個領域的棟梁。
對於一套叢書的出版而言，25年的確是一段不短的歷程；對於科學研究的進程而言，四分之一個世紀*是一部跨越式的歷史。古人“洞中方七日，世上已千秋”的時間感，用來形容人類科學探求的速律，倒也恰當和準確。回頭看看我們逐年出版的這些科普著作，許多當年的假設已經被證實，也有一些結論被證偽；許多當年的理論已經被孵化，也有一些發明被淘汰 …… 無論這些著作闡釋的學科和學說，屬於以上所說的哪種狀況，都本質地呈現了科學探索的旨趣與真相：科學永遠是一個求真的過程，所謂的真理，都隻是這一過程中的階段性成果。論證被想像訕笑，結論被假設挑釁，人類以其*優越的物種秉賦 ——智慧，讓銳利無比的理性之刃，和絢爛無比的想像之花相克相生，相否相成。在形形色色的生活中，似乎沒有哪一個領域如同科學探索一樣，既是一次次偉大的理性歷險，又是一次次**的感性審美。科學家們窮其畢生所奉獻的，不僅僅是我們無法發現的科學結論，還是我們無法展開的絢麗想像。在我們難以感知的極小與極大世界中，沒有他們記歷這些偉大歷險和**審美的科普著作，我們不但永遠無法洞悉我們賴以生存世界的各種奧秘，無法領略我們難以抵達世界的各種美麗，*無法認知人類在找到真理和遭遇美景時的心路歷程。在這個意義上，科普是人類**智慧和**審美的結晶，是物種**的精神文本，是人類任何其他創造 ——神學、哲學、文學和藝術無法替代的文明載體。
在神學家給出“我是誰”的結論後，整個人類，不僅僅是科學家，包括庸常生活中的我們，都企圖突破宗教教義的鐵窗，自由探求世界的本質。於是，時間、物質和本源，成為了人類共同的**探尋之地，成為了人類突破慵懶、掙脫瑣碎、拒*因襲的歷險之旅。這一旅程中，**著我們艱難而快樂前行的，是那一代又一代*偉大的科學家。他們是**的智者和**的幻想家，是真理的先知和審美的天使。
我曾有幸采訪《時間簡史》的作者史蒂芬？霍金，他痛苦地斜躺在輪椅上，用特制的語音器和我交談。聆聽著由他按擊出的極其單調的金屬般的音符，我確信，那個隻留下萎縮的軀干和遊絲一般生命氣息的智者就是先知，就是上帝遣派給人類的孤獨使者。倘若不是親眼所見，你根本無法相信，那些深奧到**而又淺白到**，簡練到**而又美麗到**的天書，竟是他蜷縮在輪椅上，用**能夠動彈的手指，一個語音一個語音按擊出來的。如果不是為了引導人類，你想像不出他人生此行還能有其他的目的。
無怪《時間簡史》如此暢銷！自出版始，每年都在中文圖書的暢銷榜上。其實何止《時間簡史》，霍金的其他著作，《**推動叢書》所遴選的其他作者著作，25年來都在**。據此我們相信，這些著作不僅屬於某一代人，甚至不僅屬於20世紀。隻要人類仍在為時間、物質乃至本源的命題所困擾，隻要人類仍在為求真與審美的本能所驅動，叢書中的著作，便是永不過時的啟蒙讀本，永不熄滅的**之光。
雖然著作中的某些假說會被否定，某些理論會被**，但科學家們探求真理的精神，思考宇宙的智慧，感悟時空的審美，必將與日月同輝，成為人類進化中永不腐朽的歷史界碑。
因而在25年這一時間節點上，我們合集再版這套叢書，便不隻是為了紀念出版行為本身，*多的則是為了彰顯這些著作的不朽，為了向新的時代和新的讀者告白：21世紀不僅需要科學的功利，而且需要科學的審美。
當然，我們深知，並非所有的發現都為人類帶來福祉，並非所有的創造都為世界帶來安寧。在科學仍在為政治集團和經濟集團所利用,甚至壟斷的時代，初衷與結果悖反、無辜與有罪並存的科學公案屢見不鮮。對於科學可能帶來的負能量，隻能由了解科技的公民用群體的意願抑制和抵消：選擇推進人類進化的科學方向，選擇造福人類生存的科學發現，是每個現代公民對自己，也是對物種應當肩負的一份責任、應該表達的一種訴求！在這一理解上，我們將科普閱讀不僅視為一種個人愛好，而且視為一種公共使命！牛頓站在蘋果樹下，在蘋果墜落的那一剎那，他的頓悟一定不隻包含了對於地心引力的推斷，而且包含了對於蘋果與地球、地球與行星、行星與未知宇宙奇妙關繫的想像。我相信，那不僅僅是一次枯燥之極的理性推演，而且是一次瑰麗之極的感性審美 …… 如果說，求真與審美，是這套叢書難以評估的價值，那麼，**的智慧與**的想像，則是這套叢書無法窮盡的魅力！《大宇之形》摘錄丘成桐第1章　想像邊緣的宇宙（部分）對數學家而言，維度指的是一種“自由度”，也就是在空間中運動的獨立程度。
在我們頭上飛來飛去的蒼蠅可以向任何方向自由移動，隻要沒有踫到障礙，它就擁有三個自由度。
但維度是不是就隻有那麼多？望遠鏡的發明以及隨後多年以來的不斷改良，幫助我們確認了一項事實：宇宙比我們能看到的還要浩瀚、廣大。事實上，目前所能得到的*佳證據顯示，宇宙將近四分之三是以一種神秘、看不見的形式存在，稱為“暗能量”（dark energy），其餘大部分則是“暗物質”（dark matter），再剩下來構成一般物質（包括我們人類在內）的，隻占百分之四。而且物如其名，暗能量和暗物質在各方面都是“暗的”：既看不見，也難以測度。
我們所能看見的這一小部分的宇宙，構成了一個半徑大約137億光年的球體。這一球體有時被稱為“哈勃體”（Hubble volume），但是沒人相信宇宙的整體範圍隻有如此而已。根據目前所得的*佳數據，宇宙似乎是無窮延伸的——不管我們向哪個方向看去，如果你畫一條直線，真的可以從這裡一直延伸到永恆。
不過，宇宙仍有可能是彎曲而且有界限的。但即使如此，可能的曲率也會**微小，以至於根據某些分析顯示，宇宙必然至少有上千個哈勃體那麼大。
*近發射的普朗克太空望遠鏡，或許會在幾年內揭露宇宙可能比一百萬個哈勃體還大，而我們所在的哈勃體隻是其中之一而已。我相信天文物理學家的這一說法，也了解有些人可能會對上面引述的數字有不同意見，但無論如何，有個事實是不容辯駁的：我們目前所見到的，不過是冰山一角。
而在另一個**，顯微鏡、粒子加速器以及動，叢書中的著作，便是永不過時的啟蒙讀本，永不熄滅的**之光。
雖然著作中的某些假說會被否定，某些理論會被**，但科學家們探求真理的精神，思考宇宙的智慧，感悟時空的審美，必將與日月同輝，成為人類進化中永不腐朽的歷史界碑。
因而在25年這一時間節點上，我們合集再版這套叢書，便不隻是為了紀念出版行為本身，*多的則是為了彰顯這些著作的不朽，為了向新的時代和新的讀者告白：21世紀不僅需要科學的功利，而且需要科學的審美。
當然，我們深知，並非所有的發現都為人類帶來福祉，並非所有的創造都為世界帶來安寧。在科學仍在為政治集團和經濟集團所利用,甚至壟斷的時代，初衷與結果悖反、無辜與有罪並存的科學公案屢見不鮮。對於科學可能帶來的負能量，隻能由了解科技的公民用群體的意願抑制和抵消：選擇推進人類進化的科學方向，選擇造福人類生存的科學發現，是每個現代公民對自己，也是對物種應當肩負的一份責任、應該表達的一種訴求！在這一理解上，我們將科普閱讀不僅視為一種個人愛好，而且視為一種公共使命！牛頓站在蘋果樹下，在蘋果墜落的那一剎那，他的頓悟一定不隻包含了對於地心引力的推斷，而且包含了對於蘋果與地球、地球與行星、行星與未知宇宙奇妙關繫的想像。我相信，那不僅僅是一次枯燥之極的理性推演，而且是一次瑰麗之極的感性審美 …… 如果說，求真與審美，是這套叢書難以評估的價值，那麼，**的智慧與**的想像，則是這套叢書無法窮盡的魅力！《大宇之形》摘錄丘成桐第1章　想像邊緣的宇宙（部分）對數學家而言，維度指的是一種“自由度”，也就是在空間中運動的獨立程度。
在我們頭上飛來飛去的蒼蠅可以向任何方向自由移動，隻要沒有踫到障礙，它就擁有三個自由度。
但維度是不是就隻有那麼多？望遠鏡的發明以及隨後多年以來的不斷改良，幫助我們確認了一項事實：宇宙比我們能看到的還要浩瀚、廣大。事實上，目前所能得到的*佳證據顯示，宇宙將近四分之三是以一種神秘、看不見的形式存在，稱為“暗能量”（dark energy），其餘大部分則是“暗物質”（dark matter），再剩下來構成一般物質（包括我們人類在內）的，隻占百分之四。而且物如其名，暗能量和暗物質在各方面都是“暗的”：既看不見，也難以測度。
我們所能看見的這一小部分的宇宙，構成了一個半徑大約137億光年的球體。這一球體有時被稱為“哈勃體”（Hubble volume），但是沒人相信宇宙的整體範圍隻有如此而已。根據目前所得的*佳數據，宇宙似乎是無窮延伸的——不管我們向哪個方向看去，如果你畫一條直線，真的可以從這裡一直延伸到永恆。
不過，宇宙仍有可能是彎曲而且有界限的。但即使如此，可能的曲率也會**微小，以至於根據某些分析顯示，宇宙必然至少有上千個哈勃體那麼大。
*近發射的普朗克太空望遠鏡，或許會在幾年內揭露宇宙可能比一百萬個哈勃體還大，而我們所在的哈勃體隻是其中之一而已。我相信天文物理學家的這一說法，也了解有些人可能會對上面引述的數字有不同意見，但無論如何，有個事實是不容辯駁的：我們目前所見到的，不過是冰山一角。
而在另一個**，顯微鏡、粒子加速器以及各種顯影儀器持續揭露宇宙在微小尺度上的面貌，顯現了人類原先無法觸及的世界，像細胞、分子、原子，以及*小的物體。如今我們不再對這一切感到驚訝，**可以期待望遠鏡會向宇宙的*深處探索。另一方面，顯微鏡和其他儀器則會把*多不可見之物轉為可見，呈現在我們眼前。
*近幾十年間，由於理論物理學的發展，再加上一些我有幸參與的幾何學進展，帶來了一些*令人驚訝的觀點：宇宙不僅超出我們所能看見的範圍，而且可能還有*多的維度，比我們所熟悉的三個空間維度還要多一些。當然，這是個令人難以接受的命題。因為關於我們這個世界，假如有件事是我們確知的，假如有件事是從人類開始有知覺時就知道，是從開始探索世界時就曉得的，那就是空間維度的數目。這個數目是三。不是大約等於三，而是恰恰就是三。至少長久以來我們是這樣認定的。但也許，隻是也許，會不會還有其他維度的空間存在，隻不過因為它太小，以至於我們無法察覺呢？而且盡管它很小，卻可能扮演**重要的角色，隻是從人們習以為常的三維視野無法體認到這些罷了！這個想法雖然令人難以接受，但從過去一個世紀的歷史得知，一旦離開日常經驗的領域，我們的直覺就不管用了。如果運動速度**快，狹義相對論告訴我們，時間就會變慢，這可不是憑直覺可以察覺到的。另外，如果我們把一個東西弄得****小，根據量子力學，我們就無法確知它的位置。如果做實驗來判定它在甲門或者乙門的後面，我們會發現它既不在這兒也不在那兒，因此它沒有**的位置，有時它甚至可能同時出現在兩個地方！換言之，怪事可能發生，而且必將發生。微小、隱藏的維度可能就是怪事之一。
如果這種想法成真，那麼可能會有一種邊緣性的宇宙，一處卷折3 在宇宙側邊之外的地域，超出我們的感官知覺，而這會在兩方面具有革命意義：單僅是*多維度的存在 ——這已經是科幻小說一百多年來的注冊商標 ——這件事本身就夠令人驚訝，足以列入物理學**的*重大發現了。而且這樣的發現將會是科學研究的另一起點，而非終點。這就好像站在山丘或高塔上的將軍，得益於新增加的垂直向度，而能把戰場上的局勢看得*清楚。當從*高維的視點觀看時，我們的物理定律也可能變得*明晰，因而也*容易理解。
從蒼蠅的世界看維度的意義我們都很熟悉三個基本方向上的移動：東西、南北、上下（或者也可以說是左右、前後、上下）。不管我們去哪裡 ——不論是開車上雜貨店或是飛到大溪地 ——我們的運動都是這三個獨立方向的某種基本組合。我們對這三個維度太過熟悉，以至於要設想另一個維度，並且指明它確切指向哪裡，似乎是不可能的。長久以來，似乎我們所見的即是宇宙的一切。事實上，早在兩千多年前，亞裡士多德在《論天》（ On the Heavens）中就論稱：“可在一個方向上分割的量，稱為線；如果可在兩個方向上分割的量，稱為面；如果可在三個方向上分割的量，則稱為體。除此之外，再無其他量。因為維度隻有三個。”公元150年時，天文學家、數學家托勒密嘗試證明不可能有四個維度，堅持認為不可能畫出四條相互垂直的直線。他主張，第四條垂直線“根本無法量度，也無法描述”。然而，與其說他的論點是嚴格的證明，還不如說是反映了人們沒有能各種顯影儀器持續揭露宇宙在微小尺度上的面貌，顯現了人類原先無法觸及的世界，像細胞、分子、原子，以及*小的物體。如今我們不再對這一切感到驚訝，**可以期待望遠鏡會向宇宙的*深處探索。另一方面，顯微鏡和其他儀器則會把*多不可見之物轉為可見，呈現在我們眼前。
*近幾十年間，由於理論物理學的發展，再加上一些我有幸參與的幾何學進展，帶來了一些*令人驚訝的觀點：宇宙不僅超出我們所能看見的範圍，而且可能還有*多的維度，比我們所熟悉的三個空間維度還要多一些。當然，這是個令人難以接受的命題。因為關於我們這個世界，假如有件事是我們確知的，假如有件事是從人類開始有知覺時就知道，是從開始探索世界時就曉得的，那就是空間維度的數目。這個數目是三。不是大約等於三，而是恰恰就是三。至少長久以來我們是這樣認定的。但也許，隻是也許，會不會還有其他維度的空間存在，隻不過因為它太小，以至於我們無法察覺呢？而且盡管它很小，卻可能扮演**重要的角色，隻是從人們習以為常的三維視野無法體認到這些罷了！這個想法雖然令人難以接受，但從過去一個世紀的歷史得知，一旦離開日常經驗的領域，我們的直覺就不管用了。如果運動速度**快，狹義相對論告訴我們，時間就會變慢，這可不是憑直覺可以察覺到的。另外，如果我們把一個東西弄得****小，根據量子力學，我們就無法確知它的位置。如果做實驗來判定它在甲門或者乙門的後面，我們會發現它既不在這兒也不在那兒，因此它沒有**的位置，有時它甚至可能同時出現在兩個地方！換言之，怪事可能發生，而且必將發生。微小、隱藏的維度可能就是怪事之一。
如果這種想法成真，那麼可能會有一種邊緣性的宇宙，一處卷折3 在宇宙側邊之外的地域，超出我們的感官知覺，而這會在兩方面具有革命意義：單僅是*多維度的存在 ——這已經是科幻小說一百多年來的注冊商標 ——這件事本身就夠令人驚訝，足以列入物理學**的*重大發現了。而且這樣的發現將會是科學研究的另一起點，而非終點。這就好像站在山丘或高塔上的將軍，得益於新增加的垂直向度，而能把戰場上的局勢看得*清楚。當從*高維的視點觀看時，我們的物理定律也可能變得*明晰，因而也*容易理解。
從蒼蠅的世界看維度的意義我們都很熟悉三個基本方向上的移動：東西、南北、上下（或者也可以說是左右、前後、上下）。不管我們去哪裡 ——不論是開車上雜貨店或是飛到大溪地 ——我們的運動都是這三個獨立方向的某種基本組合。我們對這三個維度太過熟悉，以至於要設想另一個維度，並且指明它確切指向哪裡，似乎是不可能的。長久以來，似乎我們所見的即是宇宙的一切。事實上，早在兩千多年前，亞裡士多德在《論天》（ On the Heavens）中就論稱：“可在一個方向上分割的量，稱為線；如果可在兩個方向上分割的量，稱為面；如果可在三個方向上分割的量，則稱為體。除此之外，再無其他量。因為維度隻有三個。”公元150年時，天文學家、數學家托勒密嘗試證明不可能有四個維度，堅持認為不可能畫出四條相互垂直的直線。他主張，第四條垂直線“根本無法量度，也無法描述”。然而，與其說他的論點是嚴格的證明，還不如說是反映了人們沒有能力看到並描繪四維空間的事實。
對數學家而言，維度指的是一種“自由度”（degree of freedom），也就是在空間中運動的獨立程度。在我們頭上飛來飛去的蒼蠅可以向任何方向自由移動，隻要沒有踫到障礙，它就擁有三個自由度。現在假設這隻蒼蠅降落到一個停車場，而被一小塊新鮮柏油黏住。當它動彈不得時，這隻蒼蠅隻有零個自由度，實質上被限制在單一點上，亦即身處於一個零維的世界。但這小東西努力不懈，經過一番奮鬥後從柏油中掙脫出來，隻可惜不幸翅膀受了點傷。不能飛翔之後，它擁有兩個自由度，可以在停車場的地面上隨意漫步。然後，我們的主角察覺到有掠食者（或許是一隻食蟲的青蛙），因此逃進一根丟棄在停車場的生鏽排氣管，蒼蠅此時隻有一個自由度，暫時陷入這根細長管子的一維，亦即線狀的世界。
但維度是不是就隻有那麼多？一隻蒼蠅在天上飛，被柏油黏住，在地上爬，逃進一根管子裡 ——這是否就囊括了一切可能性？亞裡士多德或托勒密應該會回答“是”，對一隻沒有高度冒險精神的蒼蠅而言，或許也確是如此，但是對當代數學家來說，故事並沒有就此結束，因為他們通常不認為有什麼明顯理由隻停留在三個維度。我們反而相信，想要真正理解幾何學的觀念，像是曲率或距離，需要從所有可能的維度，從零維到 n維來理解它（其中 n可以是**大的數）。如果隻停留在三維，我們對這個概念的掌握就不算完整，理由是：比起隻在某些特定情境纔適用的斷言，如果大自然的定律或法則在任何維度的空間中都有效，那麼它的理論威力*大，也可能*基本。
甚至即使你所要對付的問題**於二維或三維，也可能借由在各種維度中研究該問題而得到有利的線索。再回到我們那隻在三維空間裡嗡嗡飛的蒼蠅，它可以在三個方向移動，亦即具有三個自由度。然而，假設還有另一隻蒼蠅在同一空間裡自由移動；它同樣也有三個自由度，整個繫統就突然從三維變成六維的繫統，具有六個獨立的移動方向。隨著*多的蒼蠅在空間裡穿梭，每一隻都獨立飛行而不與他者相關，那麼繫統的復雜度及其維度，也隨之增加。
窺探*高的維度研究高維度繫統的好處之一是，可以發現一些無法從簡單場景裡看出的模式。例如在下一章，我們將討論：在一個被巨大海洋覆蓋的球形行星上，洋流不可能在任何點都朝同一個方向流動（例如全部從西流向東）。事實上一定會發生的是：一定存在著某些點，海水是靜止不動的。雖然這條規則適用於二維曲面，但我們隻有從*高維的繫統觀察，也就是考慮水分子在曲面上所有可能運動的情況，纔能導出這個規則。這是為何我們不斷向*高維度推進的原因，希望看看這樣能把我們帶到什麼方向並學習到什麼。
很自然的，考慮*高維度的結果之一是*大的復雜度。例如所謂“拓撲學”（Topology）是一門將物體依*廣義的形狀加以分類的學問。根據拓撲學，一維空間隻有兩種：直線（或兩端無端點的曲線）和圓圈（沒有端點的封閉曲線），此外再無其他可能性。你或許會說，線也可以是彎彎曲曲的，或者封閉曲線也可能是長方形的，但這些是幾何學的問題，不屬於拓撲學的範疇。說到幾何學和拓撲學的差別，前者就像拿著放大鏡研究地球表面，而後者則像搭上太空船，從外太空觀察整個地球。選擇何者，要視力看到並描繪四維空間的事實。
對數學家而言，維度指的是一種“自由度”（degree of freedom），也就是在空間中運動的獨立程度。在我們頭上飛來飛去的蒼蠅可以向任何方向自由移動，隻要沒有踫到障礙，它就擁有三個自由度。現在假設這隻蒼蠅降落到一個停車場，而被一小塊新鮮柏油黏住。當它動彈不得時，這隻蒼蠅隻有零個自由度，實質上被限制在單一點上，亦即身處於一個零維的世界。但這小東西努力不懈，經過一番奮鬥後從柏油中掙脫出來，隻可惜不幸翅膀受了點傷。不能飛翔之後，它擁有兩個自由度，可以在停車場的地面上隨意漫步。然後，我們的主角察覺到有掠食者（或許是一隻食蟲的青蛙），因此逃進一根丟棄在停車場的生鏽排氣管，蒼蠅此時隻有一個自由度，暫時陷入這根細長管子的一維，亦即線狀的世界。
但維度是不是就隻有那麼多？一隻蒼蠅在天上飛，被柏油黏住，在地上爬，逃進一根管子裡 ——這是否就囊括了一切可能性？亞裡士多德或托勒密應該會回答“是”，對一隻沒有高度冒險精神的蒼蠅而言，或許也確是如此，但是對當代數學家來說，故事並沒有就此結束，因為他們通常不認為有什麼明顯理由隻停留在三個維度。我們反而相信，想要真正理解幾何學的觀念，像是曲率或距離，需要從所有可能的維度，從零維到 n維來理解它（其中 n可以是**大的數）。如果隻停留在三維，我們對這個概念的掌握就不算完整，理由是：比起隻在某些特定情境纔適用的斷言，如果大自然的定律或法則在任何維度的空間中都有效，那麼它的理論威力*大，也可能*基本。
甚至即使你所要對付的問題**於二維或三維，也可能借由在各種維度中研究該問題而得到有利的線索。再回到我們那隻在三維空間裡嗡嗡飛的蒼蠅，它可以在三個方向移動，亦即具有三個自由度。然而，假設還有另一隻蒼蠅在同一空間裡自由移動；它同樣也有三個自由度，整個繫統就突然從三維變成六維的繫統，具有六個獨立的移動方向。隨著*多的蒼蠅在空間裡穿梭，每一隻都獨立飛行而不與他者相關，那麼繫統的復雜度及其維度，也隨之增加。
窺探*高的維度研究高維度繫統的好處之一是，可以發現一些無法從簡單場景裡看出的模式。例如在下一章，我們將討論：在一個被巨大海洋覆蓋的球形行星上，洋流不可能在任何點都朝同一個方向流動（例如全部從西流向東）。事實上一定會發生的是：一定存在著某些點，海水是靜止不動的。雖然這條規則適用於二維曲面，但我們隻有從*高維的繫統觀察，也就是考慮水分子在曲面上所有可能運動的情況，纔能導出這個規則。這是為何我們不斷向*高維度推進的原因，希望看看這樣能把我們帶到什麼方向並學習到什麼。
很自然的，考慮*高維度的結果之一是*大的復雜度。例如所謂“拓撲學”（Topology）是一門將物體依*廣義的形狀加以分類的學問。根據拓撲學，一維空間隻有兩種：直線（或兩端無端點的曲線）和圓圈（沒有端點的封閉曲線），此外再無其他可能性。你或許會說，線也可以是彎彎曲曲的，或者封閉曲線也可能是長方形的，但這些是幾何學的問題，不屬於拓撲學的範疇。說到幾何學和拓撲學的差別，前者就像拿著放大鏡研究地球表面，而後者則像搭上太空船，從外太空觀察整個地球。選擇何者，要視底下的問題而定：你是堅持要知道所有細節，比方說地表上的每一峰脊、起伏和溝壑，抑或隻要大致的全貌（“一個巨大圓球”）便已足夠？幾何學家所關切的通常是物體**的形狀和曲率，而拓撲學家隻在乎整體形貌。就這層意義而言，拓撲學是一門整體性的學問，這和數學的其他領域恰恰形成明顯對比，因為後者的進展，通常是借由把復雜的物件分割成較小較簡單的部分而達成。也許你會問：這些和維度的討論有何關繫？如上所述，拓撲學中隻有兩種基本的一維圖形，但直線和歪歪扭扭的線是“相同”的，正圓也和任何你想像得出的“閉圈”，不論是如何彎的，多邊形、長方形，乃至於正方形都是相同的。
二維空間同樣也隻有兩種基本形態：不是球面就是甜甜圈面。拓撲學家把任何沒有洞的二維曲面都視為球面，這包括常見的幾何形體，像立方體、角柱、角錐的表面，甚至形狀像西瓜的橢球面。在此，一切的差別就在於甜甜圈有洞，而球面沒有洞：無論你怎樣把球面扭曲變形（當然不包括在它中間剪洞），都不可能弄出一個甜甜圈來，反之亦然。換句話說，如果不改變物體的拓撲形態，你就無法在它上面產生新的洞或是撕裂它。反過來說，假如一個形體借由擠壓或拉扯，但非撕裂（假設它是由玩具黏土做成的），變成另一個形體，拓撲學家就把這兩個形體看成是相同的。
隻有一個洞的甜甜圈，術語稱為“環面”（torus），但是一般甜甜圈可以有任意數目的洞。“緊致”（compact，封閉且範圍有限）且“可賦向”（orientable，有內外兩面）的二維曲面可以依洞的數目來分類，6/7這個數目稱為“虧格”（genus）。外觀回異的二維物體，如果虧格相同，在拓撲上被視為是相同的。
先前提到二維形體隻有球面與洞數不同的甜甜圈面兩大類，這隻有在可賦向曲面的情況纔成立，本書所討論的通常都是可賦向曲面。比方說，海灘球有兩個面，即裡面和外面，輪胎的內胎也有兩個面。然而，對於比較復雜的情況，例如單面或“不可賦向”的曲面如 “克萊因瓶”（Klein bottle）和“莫比烏斯帶”（Mbius strip），上述說法並不成立。底下的問題而定：你是堅持要知道所有細節，比方說地表上的每一峰脊、起伏和溝壑，抑或隻要大致的全貌（“一個巨大圓球”）便已足夠？幾何學家所關切的通常是物體**的形狀和曲率，而拓撲學家隻在乎整體形貌。就這層意義而言，拓撲學是一門整體性的學問，這和數學的其他領域恰恰形成明顯對比，因為後者的進展，通常是借由把復雜的物件分割成較小較簡單的部分而達成。也許你會問：這些和維度的討論有何關繫？如上所述，拓撲學中隻有兩種基本的一維圖形，但直線和歪歪扭扭的線是“相同”的，正圓也和任何你想像得出的“閉圈”，不論是如何彎的，多邊形、長方形，乃至於正方形都是相同的。
二維空間同樣也隻有兩種基本形態：不是球面就是甜甜圈面。拓撲學家把任何沒有洞的二維曲面都視為球面，這包括常見的幾何形體，像立方體、角柱、角錐的表面，甚至形狀像西瓜的橢球面。在此，一切的差別就在於甜甜圈有洞，而球面沒有洞：無論你怎樣把球面扭曲變形（當然不包括在它中間剪洞），都不可能弄出一個甜甜圈來，反之亦然。換句話說，如果不改變物體的拓撲形態，你就無法在它上面產生新的洞或是撕裂它。反過來說，假如一個形體借由擠壓或拉扯，但非撕裂（假設它是由玩具黏土做成的），變成另一個形體，拓撲學家就把這兩個形體看成是相同的。
隻有一個洞的甜甜圈，術語稱為“環面”（torus），但是一般甜甜圈可以有任意數目的洞。“緊致”（compact，封閉且範圍有限）且“可賦向”（orientable，有內外兩面）的二維曲面可以依洞的數目來分類，6/7這個數目稱為“虧格”（genus）。外觀回異的二維物體，如果虧格相同，在拓撲上被視為是相同的。
先前提到二維形體隻有球面與洞數不同的甜甜圈面兩大類，這隻有在可賦向曲面的情況纔成立，本書所討論的通常都是可賦向曲面。比方說，海灘球有兩個面，即裡面和外面，輪胎的內胎也有兩個面。然而，對於比較復雜的情況，例如單面或“不可賦向”的曲面如 “克萊因瓶”（Klein bottle）和“莫比烏斯帶”（Mbius strip），上述說法並不成立。

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