●《現代數學基礎叢書》序 
前言 
第1章 泛函分析基本概念與變分法要點 1 
1.1 空間與泛函 1 
1.1.1 空間 1 
1.1.2 泛函 7 
1.1.3 空間上的不等式 13 
1.1.4 泛函與臨界點 16 
1.2 變分法的產生 18 
1.3 變分法用於微分方程邊值問題的研究 22 
第2章 臨界點存在定理和指標理論 26 
2.1 臨界點存在定理 26 
2.1.1 (PS)-條件與極大極小原理 26 
2.1.2 極值點的存在性 35 
2.1.3 鞍點存在定理和山路引理 40 
2.2 指標理論和多個臨界點的存在定理 49 
2.2.1 指標理論與偽指標理論 49 
2.2.2 指標與臨界點個數的關繫 52 
2.2.3 臨界點個數的具體估計 53 
2.2.4 Z2指標理論與偽Z2指標理論 55 
2.2.5 S1指標理論和偽S1指標理論 58 
2.3 Zn指標理論和偽Zn指標理論 61 
2.4 Sn指標理論和偽Sn指標理論 71 
2.5 周期軌道和臨界點 77 
2.5.1 幾何上不同的周期軌道 77 
2.5.2 指標的規範性 82 
2.5.3 Sn指標與幾何上不同的周期軌道個數 84 
2.5.4 Zn指標與幾何上不同的周期軌道個數 85
第3章 帶p-Laplace算子微分方程邊值問題 95 
3.1 帶p-Laplace算子微分方程單側多點邊值問題 96 
3.1.1 預備知識和主要結果 96 
3.1.2 若干引理 97 
3.1.3 定理3.1的證明 100 
3.1.4 定理3.1的示例 100 
3.2 帶p-Laplace算子微分方程雙側多點邊值問題 101 
3.2.1 泛函構造及定理證明 102 
3.2.2 定理3.2的示例 104 
3.3 帶p-Laplace算子微分方程混合邊值問題 105 
3.3.1 問題和結論 105 
3.3.2 定理3.3的證明 106 
3.3.3 定理3.3的示例 110 
3.3.4 定理3.4的證明 111 
3.3.5 定理3.4的示例 118 
3.4 帶p-Laplace算子微分方程的Dirichlet邊值問題 119 
3.4.1 問題和結論 119 
3.4.2 邊值問題的轉換 120 
3.4.3 Fenchel變換和泛函的臨界點 122 
3.4.4 定理3.5的證明 129 
3.4.5 定理3.5的示例 131 
3.5 二階脈衝微分方程兩點邊值問題 131 
3.5.1 Sturm-Liouville邊值問題的特征函數繫 132 
3.5.2 脈衝線性方程邊值問題 133 
3.5.3 脈衝非線性方程邊值問題 136 
3.5.4 非線性二階方程Sturm-Liouville邊值問題的正解 137 
第4章 偶數階時滯微分方程的周期軌道 142 
4.1 自伴線性算子和半線性方程 142 
4.1.1 自伴線性算子和半線性方程的概念 142 
4.1.2 周期函數空間上的兩類線性算子 143 
4.1.3 周期函數空間上的算子P和Ω 150 
4.1.4 Hilbert空間上的幾個極限 159 
4.1.5 整變量函數的上下界及算子的緊性 166 
4.1.6 算子的可逆性 167 
4.1.7 周期函數空間上的泛函 171
4.2 二階多滯量微分方程的周期軌道 172 
4.2.1 導言 172 
4.2.2 方程(4.32)的n+1-周期軌道 173 
4.2.3 方程(4.32)的n-周期軌道 188 
4.2.4 本節定理的示例 191 
4.3 2n階雙滯量微分方程的周期軌道 191 
4.3.1 同餘映射 192 
4.3.2 方程(4.69)的周期軌道 194 
4.3.3 方程(4.70)的周期軌道 201 
4.3.4 定理4.11和定理4.14的示例 210 
4.4 非Kaplan-Yorke型2n-階多滯量微分方程的周期軌道(1) 212 
4.4.1 預備引理 214 
4.4.2 情況1中方程(4.121)的周期軌道 216 
4.4.3 情況2中方程(4.121)的周期軌道 225 
4.4.4 情況3中方程(4.121)的周期軌道 230 
4.4.5 定理4.16、定理4.17和定理4.18的示例 235 
4.5 非Kaplan-Yorke型2n-階多滯量微分方程的周期軌道(2) 239 
4.5.1 方程(4.201)的m+1-周期軌道 241 
4.5.2 方程(4.202)的2(2l+1)-周期軌道 250 
4.5.3 方程(4.203)的2l-周期軌道 257 
4.5.4 方程(4.204)的2l-周期軌道 266 
4.5.5 方程(4.205)的2l-周期軌道 274 
4.5.6 定理4.23的示例 285 
第5章 奇數階時滯微分方程的周期軌道 290 
5.1 反自伴算子和微分繫統的分解 290 
5.1.1 反自伴線性算子和對稱向量 290 
5.1.2 對稱矩陣耦與歐氏空間RN的正交分解 292 
5.1.3 時滯微分繫統的分解 296 
5.2 兩類奇數階多滯量時滯微分方程的周期軌道 300 
5.2.1 兩類奇數階多滯量微分方程的周期軌道 300 
5.2.2 方程(5.32)的4k-周期軌道 301 
5.2.3 方程(5.33)的4k-周期軌道 308 
5.2.4 本節示例 311 
5.3 一般情況下的奇數階多滯量微分方程 314 
5.3.1 對稱向量與反對稱陣 315
5.3.2 方程(5.61)的變分結構及相關結論 319 
5.3.3 定理5.7的示例 327 
5.4 2k-1個滯量的微分繫統周期軌道 329 
5.4.1 兩類奇數個滯量微分方程周期軌道的多重性 329 
5.4.2 相關定理的示例 357 
5.5 2k個滯量的微分繫統周期軌道 364 
5.5.1 偶數個滯量微分繫統周期軌道的多重性 364 
5.5.2 繫統(5.190)周期軌道的多重性 365 
5.5.3 微分繫統(5.191)的2k+1-周期軌道 391 
5.5.4 本節示例 413 
第6章 非自治微分繫統的調和解 422 
6.1 周期函數空間上的Zn指標理論 422 
6.2 擴展的Fisher-Kolmogorov方程的周期邊值問題 425 
6.2.1 兩類擴展的Fisher-Kolmogorov方程 428 
6.2.2 邊值問題(6.22)的有解性和多解性 430 
6.2.3 邊值問題(6.23)的無窮多解性 433 
6.3 擴展的Fisher-Kolmogorov方程的同宿軌道 436 
6.4 非自治4階時滯微分方程的調和解(1) 441 
6.4.1 方程(6.40)的n+1-周期調和解 441 
6.4.2 方程(6.40)的s+1-周期調和解 456 
6.4.3 方程(6.40)調和解的示例 458 
6.5 非自治4階時滯微分方程的調和解(2) 459 
6.5.1 n=2k.1，k.1時方程(6.69)的調和解 460 
6.5.2 n=2k，k.1時方程(6.69)的調和解 470 
6.6 非自治多滯量時滯微分方程的調和解 478 
6.6.1 向量與矩陣 479 
6.6.2 向量a為對稱向量時方程(6.127)的調和解 487 
6.6.3 向量a為反號對稱向量時方程(6.127)的調和解 495 
6.6.4 本節定理的示例 501 
6.7 無窮多個調和解的存在性 506 
6.7.1 定理的證明 507 
6.7.2 定理的示例 515 
參考文獻 517 
後記 525 
《現代數學基礎叢書》已出版書目 526

作為此前出版的《非線性常微分方程邊值問題》研究內容的後續進展，本書是作者十餘年來在常微分方程和時滯微分方程周期軌道方面所作研究工作的總結。在介紹臨界點理論和指標理論的基礎上，對常用的Z2指標理論和S指標理論作出推廣，提出和論證了Zn指標理論和S指標理論，拓展了應用範圍。對不同類型的時滯微分方程通過選定相應的Hilbert空間，在其上給出自伴線性算子，構造特定的可微泛函，得出多個周期軌道的估計。對非自治型時滯微分方程的研究，是一個值得繼續探索的方向。本書適用於本科高年級學生和微分方程與泛函分析方向的研究生、教師，以及對本方向有興趣的研究人員。