●前言
第1章預備知識1
1.1線性空間1
1.1.1線性空間1
1.1.2線性空間的維數、基與坐標1
1.1.3線性子空間3
1.2線性算子5
1.2.1映射的概念5
1.2.2線性算子的概念5
1.2.3線性算子的零空間(核)與值域7
1.2.4線性空間的不變子空間8
1.3線性算子的譜理論、矩陣的Jordan法式9
1.3.1本征值與本征向量9
1.3.2特征多項式無重根時矩陣A的簡化10
1.3.3廣義本征向量與廣義零空間10
1.3.4算子在廣義零空間中的簡化13
1.3.5Jordan定理17
1.4矩陣函數22
1.4.1算子多項式22
1.4.2最小多項式24
1.4.3矩陣的整函數25
1.4.4一般矩陣函數的定義及簡化29
1.4.5eB=A的解33
1.5線性賦範空間.35
1.5.1定義及例子35
1.5.2空間C[a，b]的列緊性判斷(Ascoli-Arzela定理)36
1.5.3壓縮映射原理37
習題139
第2章線性繫統40
2.1一階常微分方程組的一般理論40
2.1.1記號與定義40
2.1.2解的存在專享性定理41
2.1.3齊次微分方程組的通解結構理論42
2.1.4Liouville公式46
2.1.5非齊次方程組，常數變易公式48
2.2高階線性方程49
2.3常繫數線性繫統52
2.3.1一般常繫數齊次方程組52
2.3.2非齊次方程組58
2.3.3高階常繫數齊次方程59
2.3.4高階常繫數非齊次方程的算符解法60
2.4具有周期繫數的線性繫統63
2.4.1引言63
2.4.2Floquet理論64
2.4.3非齊次周期繫統70
習題270
第3章非線性微分方程解的存在定理與解的性質73
3.1解的存在性和連續性73
3.1.1Euler折線與ε-逼近解73
3.1.2Peano存在定理75
3.2解的專享性與關於初值及右端函數的連續性77
3.2.1積分不等式77
3.2.2解的專享性80
3.2.3解關於初值與右端函數的連續性80
3.3解關於參數的連續性與可微性82
3.4具有解析右端的Cauchy定理86
習題386
第4章定性理論初步88
4.1自治繫統的基本性質88
4.1.1自治繫統88
4.1.2自治繫統的動力學性質89
4.1.3奇點(平衡位置)與閉軌線90
4.2二階線性繫統91
4.2.1二維自治繫統的變分方程組91
4.2.2線性繫統的奇點判定93
4.3非線性繫統的奇點100
4.3.1小擾動下的一次奇點、線性化條件100
4.3.2高次奇點的簡單討論101
4.4相平面上軌線性狀的一般討論106
4.4.1軌線的極限集合、截線及其性質106
4.4.2平面有界閉域內的半軌線及其極限集合的可能類型107
4.4.3軌道穩定性與奇軌線109
4.5極限環110
4.5.1基本概念和例子110
4.5.2判別周期解與極限環存在的幾個準則111
4.5.3周期解和極限環不存在的幾個準則115
4.6非線性振動型方程的周期解與極限環117
4.6.1定義和分類117
4.6.2VanderPol型方程的一個周期解存在定理118
4.6.3Liénard方程的中心存在定理119
4.7平面自治繫統的分枝121
4.7.1分枝的概念121
4.7.2Hopf分枝定理122
4.7.3Poincaré分枝與同宿、異宿分枝125
習題4131
第5章穩定性理論的概念與方法133
5.1穩定性定義與V函數133
5.1.1問題的提出133
5.1.2穩定性的定義133
5.1.3穩定性的研究方法闡述137
5.1.4V函數與K函數138
5.1.5V函數性質的判別法139
5.1.6定號函數的幾何解釋140
5.2Lyapunov第二方法的基本定理140
5.2.1穩定性定理140
5.2.2不穩定性定理141
5.2.3漸近穩定定理143
5.3自治繫統的穩定性144
5.3.1常繫數線性繫統零解的穩定性145
5.3.2常繫數線性繫統的V函數的存在性145
5.3.3由一次近似決定的穩定性146
5.3.4穩定多項式的Routh-Harwitz定理147
5.4周期繫統的穩定性149
5.4.1周期線性繫統149
5.4.2一般周期繫統150
5.5全局穩定性的概念及主要判定定理151
習題5158
第6章解析方法160
6.1基本概念160
6.1.1同階函數與高階函數160
6.1.2漸近序列與漸近級數161
6.1.3漸近展開與一致有效漸近展開162
6.2正則攝動法163
6.3非一致有效漸近解165
6.4應變參數法168
6.5匹配漸近法171
6.6多重尺度法177
6.6.1二變量法178
6.6.2導數展開法181
6.7平均化法184
習題6189
第7章應用:橢圓函數與非線性波方程的準確行波解191
7.1Jacobi橢圓函數的微分方程定義與性質191
7.2淺水波方程模型與對應的行波解繫統195
7.2.1小振幅長波格式:δ1，=O(δ2)197
7.2.2中等振幅格式:δ1，=O(δ)198
7.2.3較大振幅格式:δ1，=O(√δ)199
7.2.4不假設振幅小的模型:=O(1)199
7.3廣義Camassa-Holm方程的準確尖孤子、偽尖孤子和周期尖波解201
7.3.1由圖7.3.1(a)的相軌道確定的廣義Camassa-Holm方程 的孤立波解，偽尖孤子，周期波解與周期尖波解203
7.3.2由圖7.3.1(b)的相軌道確定的廣義Camassa-Holm方程的周期尖波解與尖孤子解205
7.3.3由圖7.3.1(c)的相軌道確定的廣義Camassa-Holm方程的周期尖波解與有界破缺波解206
7.4廣義HarryDym-型方程的準確行波解及其在參數平面的分枝208
7.4.1繫統(7.4.3)的相圖的分枝209
7.4.2當c<0，μ<0時，(7.4.3)的軌道確定的偽尖孤子，周期尖波解與有界的破缺波解212
7.4.3當c<0，μ<0時方程(7.4.1)的準確孤立波解220
習題7220
參考文獻222
