對於大多數學生來說，微積分或許是他們曾經上過的倍感迷茫且很受挫折的一門課程了。本書不僅讓學生們能有效地學習微積分，更重要的是提供了戰勝微積分的可靠工具。本書源於風靡美國普林斯頓大學的阿德裡安·班納教授的微積分復習課程，他激勵了一些考試前想獲得成功但考試結果卻平平的學生。作者班納是美國普林斯頓大學的知名數學教授，並擔任新技術研究中心主任。他的授課風格非正式、有吸引力並接近不強求，甚至在不失其詳盡性的基礎上又增添了許多娛樂性，而且他不會跳過討論一個問題的任何步驟。這本經典著作將易用性與可讀性以等

●第1 章函數、圖像和直線… … … … … … … …11.1  函數… … … … … … … …11.1.1  區間表示法… … … … … … … …31.1.2  求定義域… … … … … … … …31.1.3  利用圖像求值域… … … … … … … …41.1.4  垂線檢驗… … … … … … … …51.2  反函數… … … … … … … …61.2.1  水平線檢驗… … … … … … … …71.2.2  求反函數… … … … … … … …81.2.3  定義域… … … … … … … …  81.2.4  反函數的反函數… … … … …  91.3  函數的復合… … … … … … … … … … … … …  101.4  奇函數和偶函數… … … … … … … … … …  121.5  線性函數的圖像… … … … … … … … … …  141.6  常見函數及其圖像… … … … … … … … …  16第2  章三角學回顧… … … … … … … … … … … … …  212.1  基本知識… … … … … … … … … … … … … … …  212.2  擴展三角函數定義域… … … … … … …  232.2.1  ASTC 方法… … … … … … … …  252.2.2  [0, 2π] 以外的三角函數… … … … … … … … … … … … …  272.3  三角函數的圖像… … … … … … … … … …  292.4  三角恆等式… … … … … … … … … … … … …  32第3  章極限導論… … … … … … … … … … … … … … …  343.1  極限：基本思想… … … … … … … … … …  343.2  左極限與右極限… … … … … … … … … …  363.3  何時不存在極限… … … … … … … … … …  373.4  在 和- 處的極限… … … … …  383.5  關於漸近線的兩個常見誤解… … …  413.6  三明治定理… … … … … … … … … … … … …  433.7  極限的基本類型小結… … … … … … …  45第4  章求解多項式的極限問題… … … … … …  474.1  x → a 時的有理函數的極限… … …  474.2  x → a 時的平方根的極限… … … …  504.3  x → 時的有理函數的極限… …  514.4  x → 時的多項式型函數的極限… …  564.5  x → - 時的有理函數的極限… … … … …  594.6  包含絕對值的函數的極限… … … …  61第5  章連續性和可導性… … … … … … … … … …  635.1  連續性… … … … … … … … … … … … … … … …  635.1.1  在一點處連續… … … … … … …  635.1.2  在一個區間上連續… … … …  645.1.3  連續函數的一些例子… …  655.1.4  介值定理… … … … … … … … … …  675.1.5  一個更難的介值定理例子…  … … … … … … … … … … … …  695.1.6  連續函數的優選值和最小值…  … … … … … … … … … …  705.2  可導性… … … … … … … … … … … … … … … …  715.2.1  平均速率… … … … … … … … … …  725.2.2  位移和速度… … … … … … … …  725.2.3  瞬時速度… … … … … … … … … …  735.2.4  速度的圖像闡釋… … … … …  745.2.5  切線… … … … … … … … … … … … …  755.2.6  導函數… … … … … … … … … … …  775.2.7  作為極限比的導數… … … …  785.2.8  線性函數的導數… … … … …  805.2.9  二階導數和更高階導數… … … … … … … … … … … … …  805.2.10  何時導數不存在… … … … …  815.2.11  可導性和連續性… … … … …  82第6  章求解微分問題… … … … … … … … … … …  846.1  使用定義求導… … … … … … … … … … … …  846.2  用更好的辦法求導… … … … … … … … …  876.2.1  函數的常數倍… … … … … … …  886.2.2  函數和與函數差… … … … …  886.2.3  通過乘積法則求積函數的導數… … … … … … … … … …  886.2.4  通過商法則求商函數的導數… … … … … … … … … …  906.2.5  通過鏈式求導法則求復合函數的導數… … … …  916.2.6  那個難以處理的例子… …  946.2.7  乘積法則和鏈式求導法則的理由… … … … … … …  966.3  求切線方程… … … … … … … … … … … … …  986.4  速度和加速度… … … … … … … … … … … …  996.5  導數偽裝的極限… … … … … … … … … …  1016.6  分段函數的導數… … … … … … … … … …  1036.7  直接畫出導函數的圖像… … … … … …  106第7  章三角函數的極限和導數… … … … … …  1117.1  三角函數的極限… … … … … … … … … …  1117.1.1  小數的情況… … … … … … … …  1117.1.2  問題的求解——小數的情況… … … … … … … … … … …  1137.1.3  大數的情況… … … … … … … …  1177.1.4  其他的" 情況… … … … … …  1207.1.5  一個重要極限的證明… …  1217.2  三角函數的導數… … … … … … … … … …  1247.2.1  求三角函數導數的例子… … … … … … … … … … … … …  1277.2.2  簡諧運動… … … … … … … … … …  1287.2.3  一個有趣的函數… … … … …  129第8  章隱函數求導和相關變化率… … … …  1328.1  隱函數求導… … … … … … … … … … … … …  1328.1.1  技巧和例子… … … … … … … …  1338.1.2  隱函數求二階導… … … … …  1378.2  相關變化率… … … … … … … … … … … … …  1388.2.1  一個簡單的例子… … … … …  1398.2.2  一個稍難的例子… … … … …  1418.2.3  一個更難的例子… … … … …  1428.2.4  一個非常難的例子… … … …  144第9  章指數函數和對數函數… … … … … … …  1489.1  基礎知識… … … … … … … … … … … … … … …  1489.1.1  指數函數的回顧… … … … …  1489.1.2  對數函數的回顧… … … … …  1499.1.3  對數函數、指數函數及反函數… … … … … … … … … …  1509.1.4  對數法則… … … … … … … … … …  1519.2  e 的定義… … … … … … … … … … … … … … …  1539.2.1  一個有關復利的問題… …  1539.2.2  問題的答案… … … … … … … …  1549.2.3  更多關於e 和對數函數的內容… … … … … … … …  1569.3  對數函數和指數函數求導… … … …  1589.4  求解指數函數或對數函數的極限… … … … … … …… … … …  1619.4.1  涉及e 的定義的極限… …  1619.4.2  指數函數在0 附近的行為… … … … … … … … … … … … …  1629.4.3  對數函數在1 附近的行為… … … … … … … … … … … … …  1649.4.4  指數函數在 或- 附近的行為… … … … …  1649.4.5  對數函數在 附近的行為… … … … … … … … … … … … …  1679.4.6  對數函數在0 附近的行為… … … … … … … … … … … … …  1689.5  取對數求導法… … … … … … … … … … … …  1699.6  指數增長和指數衰變… … … … … … …  1739.6.1  指數增長… … … … … … … … … …  1749.6.2  指數衰變… … … … … … … … … …  1769.7  雙曲函數… … … … … … … … … … … … … … …  178第10  章反函數和反三角函數… … … … … …  18110.1  導數和反函數… … … … … … … … … … …  18110.1.1  使用導數證明反函數存在… … … … … … … … … … … …  18110.1.2  導數和反函數：可能出現的問題… … … … … … … …  18210.1.3  求反函數的導數… … … … …  18310.1.4  一個綜合性例子… … … … …  18510.2  反三角函數… … … … … … … … … … … …  18710.2.1  反正弦函數… … … … … … … …  18710.2.2  反餘弦函數… … … … … … … …  19010.2.3  反正切函數… … … … … … … …  19210.2.4  反正割函數… … … … … … … …  19410.2.5  反餘割函數和反餘切函數… … … … … … … … … … … …  19510.2.6  計算反三角函數… … … … …  19610.3  反雙曲函數… … … … … … … … … … … …  199第11  章導數和圖像… … … … … … … … … … … …  20211.1  函數的極值… … … … … … … … … … … …  20211.1.1  全局極值和局部極值… …  20211.1.2  極值定理… … … … … … … … …  20311.1.3  求全局優選值和最小值… … … … … … … … … … … …  20411.2  羅爾定理… … … … … … … … … … … … … …  20611.3  中值定理… … … … … … … … … … … … … …  20911.4  二階導數和圖像… … … … … … … … …  21211.5  對導數為零點的分類… … … … … …  21511.5.1  使用一次導數… … … … … …  21511.5.2  使用二階導數… … … … … …  217第12  章繪制函數圖像… … … … … … … … … … …  21912.1  建立符號表格… … … … … … … … … … …  21912.1.1  建立一階導數的符號表格… … … … … … … … … … … …  22112.1.2  建立二階導數的符號表格… … … … … … … … … … … …  22212.2  繪制函數圖像的全面方法… … …  22412.3  例題… … … … … … … … … … … … … … … … …  22512.3.1  一個不使用導數的例子… … … … … … … … … … … …  22512.3.2  完整的方法：例一… … …  22712.3.3  完整的方法：例二… … …  22912.3.4  完整的方法：例三… … …  23112.3.5  完整的方法：例四… … …  234第13  章很優化和線性化… … … … … … … … …  23913.1  很優化… … … … … … … … … … … … … … …  23913.1.1  一個簡單的很優化例子… … … … … … … … … … … …  23913.1.2  很優化問題：一般方法… … … … … … … … … … … …  24013.1.3  一個很優化的例子… … …  24113.1.4  另一個很優化的例子… …  24213.1.5  在很優化問題中使用隱函數求導… … … … … … … …  24613.1.6  一個較難的很優化例子… … … … … … … … … … … …  24613.2  線性化… … … … … … … … … … … … … … …  24913.2.1  線性化問題：一般方法… … … … … … … … … … … …  25113.2.2  微分… … … … … … … … … … … …  25213.2.3  線性化的總結和例子… …  25413.2.4  近似中的誤差… … … … … …  25613.3  牛頓法… … … … … … … … … … … … … … …  258第14  章洛必達法則及極限問題總結… …  26314.1  洛必達法則… … … … … … … … … … … …  26314.1.1  類型A：0/0 … … … … … … …  26314.1.2  類型A：± /± … …  26614.1.3  類型B1: ( - ) … …  26714.1.4  類型B2: (0 x± ) … …  26914.1.5  類型C: 1± ，00 或 0… … … …  27014.1.6  洛必達法則類型的總結… … … … … … … … … … … …  27214.2  關於極限的總結… … … … … … … … …  273第15  章積分… … … … … … … … … … … … … … … …  27615.1  求和符號… … … … … … … … … … … … … …  27615.1.1  一個有用的求和… … … … …  27915.1.2  伸縮求和法… … … … … … … …  28015.2  位移和面積… … … … … … … … … … … …  28315.2.1  三個簡單的例子… … … … …  28315.2.2  一段更常規的旅行… … …  28515.2.3  有向面積… … … … … … … … …  28715.2.4  連續的速度… … … … … … … …  28815.2.5  兩個特別的估算… … … … …  291第16  章定積分… … … … … … … … … … … … … … …  29316.1  基本思想… … … … … … … … … … … … … …  29316.2  定積分的定義… … … … … … … … … … …  29716.3  定積分的性質… … … … … … … … … … …  30116.4  求面積… … … … … … … … … … … … … … …  30516.4.1  求通常的面積… … … … … …  30616.4.2  求解兩條曲線之間的面積… … … … … … … … … … … …  30816.4.3  求曲線與y 軸所圍成的面積… … … … … … … … … … …  31016.5  估算積分… … … … … … … … … … … … … …  31316.6  積分的平均值和中值定理… … …  31616.7  不可積的函數… … … … … … … … … … …  319第17  章微積分基本定理… … … … … … … … …  32117.1  用其他函數的積分來表示的函數… … … … … … … … … …… …  32117.2  微積分的第一基本定理… … … … …  32417.3  微積分的第二基本定理… … … … …  32817.4  不定積分… … … … … … … … … … … … … …  32917.5  怎樣解決問題：微積分的第一基本定理… … … … … … … … … … … …  33117.5.1  變形1：變量是積分下限… … … … … … … … … … … …  33217.5.2  變形2：積分上限是一個函數… … … … … … … … …  33217.5.3  變形3：積分上下限都為函數… … … … … … … … …  33417.5.4  變形4：極限偽裝成導數… … … … … … … … … … … …  33517.6  怎樣解決問題：微積分的第二基本定理… … … … … … … … … … … …  33617.6.1  計算不定積分… … … … … …  33617.6.2  計算定積分… … … … … … … …  33917.6.3  面積和絕對值… … … … … …  34117.7  技術要點… … … … … … … … … … … … … …  34417.8  微積分第一基本定理的證明… …  345第18  章積分的方法I… … … … … … … … … … …  34718.1 &nbs法… … … … … … … … … … … … … … …  34718.1.1 &nbs法和定積分… … … … …  35018.1.2  … … … … … … … … …  35318.1.3 &nbs法的理論解釋… … …  35518.2  分部積分法… … … … … … … … … … … …  35618.3  部分分式… … … … … … … … … … … … … …  36118.3.1  部分分式的代數運算… …  36118.3.2  對每一部分積分… … … … …  36518.3.3  方法和一個完整的例子… … … … … … … … … … … …  367第19  章積分的方法II … … … … … … … … … …  37319.1  應用三角恆等式的積分… … … … …  37319.2  關於三角函數的冪的積分… … …  37619.2.1  sin 或cos 的冪… … … … …  37619.2.2  tan 的冪… … … … … … … … …  37819.2.3  sec 的冪… … … … … … … … … …  37919.2.4  cot 的冪… … … … … … … … … …  38119.2.5  csc 的冪… … … … … … … … … …  38219.2.6  約化公式… … … … … … … … …  38219.3  關於法的積分… … … … …  38419.3.1  類型1：pa2 ? x2 … … …  38419.3.2  類型2：px2 + a2 … … …  38619.3.3  類型3：px2 ? a2 … … …  38719.3.4  配方和法… … …  38819.3.5  關於法的總結… … … … … … … … … … … …  38919.3.6  平方根的方法和法… … … … … … … … … … …  38919.4  積分技巧總結… … … … … … … … … … …  391第20  章反常積分：基本概念… … … … … …  39320.1  收斂和發散… … … … … … … … … … … …  39320.1.1  反常積分的一些例子… …  39520.1.2  其他破裂點… … … … … … … …  39720.2  關於無窮區間上的積分… … … … …  39820.3  比較判別法(理論)… … … … … … … …  40020.4  極限比較判別法(理論)… … … … …  40220.4.1  函數互為漸近線… … … … …  40220.4.2  關於判別法的陳述… … …  40420.5  p 判別法(理論) … … … … … … … … …  40520.6  絕對收斂判別法… … … … … … … … …  407第21  章反常積分：如何解題… … … … … …  41021.1  如何開始… … … … … … … … … … … … … …  41021.1.1  拆分積分… … … … … … … … …  41021.1.2  如何處理負函數值… … …  41121.2  積分判別法總結… … … … … … … … …  41321.3  常見函數在 和- 附近的表現… … … … … … … … … …  41421.3.1  多項式和多項式型函數在 和- 附近的表現… … … … … … … … …  41521.3.2  三角函數在 和- 附近的表現… … … …  41721.3.3  指數在 和- 附近的表現… … … … … … … … …  41921.3.4  對數在 附近的表現… … … … … … … … … … … …  42221.4  常見函數在0 附近的表現… … …  42621.4.1  多項式和多項式型函數在0 附近的表現… … …  42621.4.2  三角函數在0 附近的表現… … … … … … … … … … … …  42721.4.3  指數函數在0 附近的表現… … … … … … … … … … … …  42921.4.4  對數函數在0 附近的表現… … … … … … … … … … … …  43021.4.5  更一般的函數在0 附近的表現… … … … … … … … …  43121.5  如何應對不在0 或1 處的瑕點… … … … … … … … … … …… … …  432第22  章數列和級數：基本概念… … … … …  43422.1  數列的收斂和發散… … … … … … … …  43422.1.1  數列和函數的聯繫… … …  43522.1.2  兩個重要數列… … … … … …  43622.2  級數的收斂與發散… … … … … … … …  43822.3  第n 項判別法(理論) … … … … … …  44222.4  無窮級數和反常積分的性質… …  44322.4.1  比較判別法(理論) … … …  44322.4.2  極限比較判別法(理論) … … … … … … … … … … …  44422.4.3  p 判別法(理論)… … … … …  44422.4.4  絕對收斂判別法… … … … …  44522.5  級數的新判別法… … … … … … … … …  44722.5.1  比式判別法(理論) … … …  44722.5.2  根式判別法(理論) … … …  44922.5.3  積分判別法(理論) … … …  45022.5.4  交錯級數判別法(理論) … … … … … … … … … … …  453第23  章求解級數問題… … … … … … … … … …  45523.1  求幾何級數的值… … … … … … … … …  45523.2  應用第n 項判別法… … … … … … …  45723.3  應用比式判別法… … … … … … … … …  45723.4  應用根式判別法… … … … … … … … …  46123.5  應用積分判別法… … … … … … … … …  46223.6  應用比較判別法、極限比較判別法和p 判別法… … … … … … … …  46323.7  應對含負項的級數… … … … … … … …  468第24  章泰勒多項式、泰勒級數和冪級數導論… … … … … … … … …  47224.1  近似值和泰勒多項式… … … … … …  47224.1.1  重訪線性化… … … … … … … …  47224.1.2  二次近似… … … … … … … … …  47324.1.3  高階近似… … … … … … … … …  47424.1.4  泰勒定理… … … … … … … … …  47524.2  冪級數和泰勒級數… … … … … … … …  47824.2.1  一般冪級數… … … … … … … …  47924.2.2  泰勒級數和麥克勞林級數… … … … … … … … … … … …  48124.2.3  泰勒級數的收斂性… … …  48124.3  一個有用的極限… … … … … … … … …  485第25  章求解估算問題… … … … … … … … … …  48725.1  泰勒多項式與泰勒級數總結… …  48725.2  求泰勒多項式與泰勒級數… … …  48825.3  用誤差項估算問題… … … … … … … …  49125.3.1  第一個例子… … … … … … … …  49225.3.2  第二個例子… … … … … … … …  49425.3.3  第三個例子… … … … … … … …  49525.3.4  第四個例子… … … … … … … …  49625.3.5  第五個例子… … … … … … … …  49725.3.6  誤差項估算的一般方法… … … … … … … … … … … …  49925.4  誤差估算的另一種方法… … … … …  499第26  章泰勒級數和冪級數：如何解題… … … … … … … …… … … … …  50226.1  冪級數的收斂性… … … … … … … … …  50226.1.1  收斂半徑… … … … … … … … …  50226.1.2  求收斂半徑和收斂區域… … … … … … … … … … … …  50426.2  合 的泰勒級數… … … … … … … …  50826.2.1  代換和泰勒級數… … … … …  50926.2.2  泰勒級數求導… … … … … …  51126.2.3  泰勒級數求積分… … … … …  51226.2.4  泰勒級數相加和相減… …  51426.2.5  泰勒級數相乘… … … … … …  51526.2.6  泰勒級數相除… … … … … …  51626.3  利用冪級數和泰勒級數求導… …  51726.4  利用麥克勞林級數求極限… … …  519第27  章參數方程和極坐標… … … … … … …  52327.1  參數方程… … … … … … … … … … … … … …  52327.2  極坐標… … … … … … … … … … … … … … …  52827.2.1  極坐標與笛卡兒坐標互換… … … … … … … … … … … …  52927.2.2  極坐標繫中畫曲線… … …  53027.2.3  求極坐標曲線的切線… …  53427.2.4  求極坐標曲線圍成的面積… … … … … … … … … … … …  535第28  章復數… … … … … … … … … … … … … … … …  53828.1  基礎… … … … … … … … … … … … … … … … …  53828.2  復平面… … … … … … … … … … … … … … …  54128.3  復數的高次冪… … … … … … … … … … …  54428.4  解zn = w … … … … … … … … … … … … …  54528.5  解ez = w … … … … … … … … … … … … …  55028.6  一些三角級數… … … … … … … … … … …  55228.7  歐拉恆等式和冪級數… … … … … …  554第29  章體積、弧長和表面積… … … … … …  55629.1  旋轉體的體積… … … … … … … … … … …  55629.1.1  圓盤法… … … … … … … … … … …  55729.1.2  殼法… … … … … … … … … … … …  55829.1.3  總結和變式… … … … … … … …  56029.1.4  變式1：區域在曲線和y 軸之間… … … … … … …  56129.1.5  變式2：兩曲線間的區域… … … … … … … … … … … …  56229.1.6  變式3：繞平行於坐標軸的軸旋轉… … … … …  56529.2  一般立體體積… … … … … … … … … … …  56729.3  弧長… … … … … … … … … … … … … … … … …  57129.4  旋轉體的表面積… … … … … … … … …  574第30  章微分方程… … … … … … … … … … … … …  57830.1  微分方程導論… … … … … … … … … … …  57830.2  可分離變量的一階微分方程… …  57930.3  一階線性方程… … … … … … … … … … …  58130.4  常繫數微分方程… … … … … … … … …  58530.4.1  解一階齊次方程… … … … …  58630.4.2  解二階齊次方程… … … … …  58630.4.3  為什麼特征二次方程適用… … … … … … … … … … … …  58730.4.4  非齊次方程和特解… … …  58830.4.5  求特解… … … … … … … … … … …  58930.4.6  求特解的例子… … … … … …  59030.4.7  解決yP 和yH 間的衝突… … … … … … … … … … … …  59230.4.8  IVP … … … … … … … … … … … …  59330.5  微分方程建模… … … … … … … … … … …  595附錄A  極限及其證明… … … … … … … … … …  598A.1  極限的正式定義… … … … … … … … … …  598A.2  由原極限產生新極限… … … … … … …  602A.3  極限的其他情形… … … … … … … … … …  606A.4  連續與極限… … … … … … … … … … … … …  611A.5  再談指數函數和對數函數… … … …  616A.6  微分與極限… … … … … … … … … … … … …  618A.7  泰勒近似定理的證明… … … … … … …  627附錄B  估算積分… … … … … … … … … … … … …  629B.1  使用條紋估算積分… … … … … … … …  629B.2  梯形法則… … … … … … … … … … … … … …  632B.3  辛普森法則… … … … … … … … … … … … …  634B.4  近似的誤差… … … … … … … … … … … … …  636符號列表…  … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …  640索引…  … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …  643

本書是作者多年來給普林斯頓大學本科一年級學生開設微積分的每周復習課。本書專注於講述解題技巧，目的是幫助讀者微積分的主要概念。深入處理一些基本內容，還復習一些主題。本書不僅可以作為參考書，也可以作為教材，定會成為任何一位需要微積分知識人微積分的很好好的指導書。

(美)阿德裡安？班納 著 楊爽//趙曉婷//高璞 譯